Basic Geometry


Angles


Angle basics

2つの光線\(\vec{AB}\) と \(\vec{AC}\)があります
2つの光線は点Aを共有しています、この点を頂点(vertex)と呼びます
2つの光線が頂点Aで作り出す広がりのを角(angle)と呼び $$\angle BAC \quad または \quad \angle CAB$$ と記述します
\(\angle A\)と記述する場合もあります
線分\(\overline{DE}\)と線分\(\overline{FG}\)があります
2つの線分は点Hで交わっていて、この点Hを共有しています
   ここで\(\angle H\)と記述した場合、ここにできる角は4つありどれだかわかりません
なので $$\angle GHE \quad \angle EHG \quad \angle EHF$$ と記述します
2つの角\(\angle ABC\) と \(\angle XYZ\) があります
\(\angle ABC\)の広がりは\(\angle XYZ\)の広がりより閉じています
\(\angle XYZ\)の広がりは\(\angle ABC\)の広がりより開いています
これを
\(\angle XYZ\)は\(\angle ABC\)よりも大きいといいます

Angle mesurement

角の広さを表す方法の一つに度数(degrees)があります

他に弧度(radians)がありますが、これは三角法でよくつかわれます

なずは度数についての説明

円一周を360度としています、これを

$$360°$$

と表します
円周の1/6は

$$360/6=60°$$

円周の1/4は $$360/4=90°$$ これを直角(right angle)とう

円周の1/2は $$360/2=180°$$ 開始の光線と終了の光線は直線となっています

円周の3/4は $$360*3/4=270°$$


Interpreting angles

鋭角(Acute angle) $$ \lt 90^\circ$$

直角(right angle)
$$90°$$

鈍角(Obtuse angle) $$ \gt 90°$$


Relationships between angles

$$m\angle DBA = 40°$$ $$m\angle ABC = 50°$$ $$\angle DBC = 40° + 50° = 90° \quad (直角)$$ この時 $$\overline{DB} \bot \overline{BC}\quad (\overline{DB} \quad is \quad perpendicular \quad to \quad \overline{BC})$$ \(\angle DBA\) と \(\angle ABC\) は隣り合っていて(adjacent)、 2つの角を合計すると90°になる、この互いの角を余角(complementary angle)という。

$$m\angle DBA = 130°$$ $$m\angle ABC = 50°$$ $$\angle DBC = 130° + 50° = 180° \quad (straight angle 平角)$$ この時 \(\angle DBA\) と \(\angle ABC\) は隣り合っていて(adjacent)、 2つの角を合計すると180°になる、この互いの角を補角(supplementary angle)という。


Introduction to vertical angle

$$\angle CEBの角度は?$$ \(\angle BED\) と \(\angle CEB\) は隣接している
\(\angle CED\) は 平角である
つまり \(\angle BED\) と \(\angle CEB\) は補角の関係である
したがって $$\angle BED + \angle CEB = 180° \to \angle CEB = 150°$$ $$\angle CEAの角度は?$$ \(\angle CEB\) と \(\angle CEA\) は隣接している
\(\angle AEB\) は 平角である
つまり \(\angle CEB\) と \(\angle CEA\) は補角の関係である
したがって $$\angle CEB + \angle CEA = 180° \to \angle CEA = 30°$$
$$\angle BED = \angle CEA$$ この2つの角を互いに対頂角(vertical angle or opposite angle) といいます
対頂角は等しい、したがって $$\angle CEB = \angle AED$$


Angles formed by parallel lines and transversals

\(\overleftrightarrow{AB}\) と \($$\overleftrightarrow{CD}\)があり 2つの直線は決して交わりません
このことを平行(parallel)といい $$\overleftrightarrow{AB} || \overleftrightarrow{CD}$$ と表します
2本の平行線と交差する線Lのことを横断線(transversal)といいます
角の関係を見ていくと
ピンクで示した角はすべて同じ角度であり 緑で示した角はすべて同じ角度です。
2つの交点をみて、対頂角は等しく、また同位角(corresponding angle)は等しい