Differential calculus


Derivative applications


Equations of normal and tangent lines


y-intercept of tangent line example

曲線\(f(x)=\frac{1}{x}\)のある点\((k \ne 0)\)における接線が \(y\)軸を横切るときの値を求めよ
\(x=k\)の点の座標は\( (k,\frac{1}{k}) \)
この点を通る接線の傾きは $$f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$$ $$f'(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$$ \(x=k\)のときの傾きは $$f'(k)=-\frac{1}{k^2}$$ 接線(tangent line)を\(y=mx+b\)とすると
傾き\(m=\frac{1}{k^2}\)、 y軸との交点のy座標は\(b\)なので $$y=-\frac{1}{k^2}x+b$$  点\( (k,\frac{1}{k}) \)を通るので $$\frac{1}{k}=-\frac{1}{k^2}k+b$$ $$\frac{1}{k}=-\frac{1}{k}+b$$ $$b=\frac{1}{k}+\frac{1}{k}=\frac{2}{k}$$ したがって点\( (k,\frac{1}{k}) \)を通る接線の式は $$y=-\frac{1}{k^2}x+\frac{2}{k}$$

Equation of normal line(法線)

幾何において normal とは、与えられたオブジェクトに対して垂直な線やベクトルなどのオブジェクトです。

2次元の場合、曲線上の任意の点における接線に対してその点を通る垂直な直線を法線(noramal line)といいます。

曲線\(f(x)=\frac{e^x}{x^2}\)で\(x=1\)のときの法線の式を求める
\(x=1\)のときの接線の傾きを求めます $$f(x)=\frac{e^x}{x^2}=e^xx^{-2} \quad f(1)=\frac{e^1}{1^2}=e$$ \(f(x)\)を微分します $$f'(x)=e^xx^{-2}+e^x(-2x^{-3})$$ $$f'(1)=e-2e=-e \quad 接線の傾き$$ 法線の傾きは\(-\frac{1}{m}\)なので\(\frac{1}{e}\)
\(y=-\frac{1}{m}x+b\)を法線の式とすると $$e=\frac{1}{e}+b \to b=e-\frac{1}{e}$$ $$y = \frac{1}{e}x+e-\frac{1}{e}$$

Motion along a line

導関数はその瞬間の変化の割合を計算することができます。 時間に対し位置変化の割合が速度(velocity)で、 時間に対し速度変化の割合が加速度(acceleration)です。 この考え方を使って、時間の関数として表される位置にある1次元の粒の動きを分析してみましょう。


Total distance traveled by a particle

数直線上をうごく粒子の位置は下記の式で表されるとします $$s(t)=\frac{2}{3}t^3-6t^2+10t \quad (t \ge 0)$$ tは秒を表します
粒子は最初の6秒間に左右に動きます。\(0 \le t \le 6\)の間に粒子が移動する距離の合計はどれだけですか?
右方向に動くときを + 、左方向に動くときを ― で表します。
\(s(t)\)を微分して、速度の変化を表す式を求めます $$s'(t)=2t^2-12t+10$$ \(s'(t)=0\)のとき速度は0で、その時のtを求めます $$2t^2-12t+10=0$$ $$t^2-6t+5=0$$ $$(t-1)(t-5)=0$$ したがって\(t=1\)または\(t=5\)のときに速度は0となります。
\(0 \le t \le 1\)で粒子は右方向へ移動し、 \(1 \le t \le 5\)で粒子は左方向へ移動し、 \(5 \le t \le 6\)で粒子は右方向へ移動します
1秒後の位置は\(4\frac{2}{3}\)なので移動距離は\(4\frac{2}{3}\)
5秒後の位置は\(-16\frac{2}{3}\)なので、 まず\(4\frac{2}{3}\)で最初の位置へ戻りさらに\(16\frac{2}{3}\)移動します
6秒後の位置は\(-12\)なので、移動距離は\(4\frac{2}{3}\)
距離の合計は $$4\frac{2}{3}+4\frac{2}{3}+16\frac{2}{3}+4\frac{2}{3} =30\frac{2}{3}$$
\(t\) \(s(t)\)
0 0
1 \(4\frac{2}{3}\)
5 \(-16\frac{2}{3}\)
6 -12

When is a particle speeding up?

数直線上を粒子が左右に行ったり来たりします
粒子の位置を時間で表す関数を \(s(t)=t^3-6t^2+9t、t \ge 0\)とします
"スピードアップ"とはどういうことでしょうか
右方向へスピードアップするとは、速度が正\(v(t) \gt 0\)であり、加速度が正\(a(t) \gt 0\)ということです
左方向へスピードアップするとは、速度が負\(v(t) \lt 0\)であり、加速度が負\(a(t) \lt 0\)ということです
速度が正(右向き)のとき、加速度が負(左向き)の場合、スピードは遅くなります、 速度が負(左向き)のとき、加速度が正(右向き)の場合も、スピードは遅くなります。
時間に対する位置の変化は位置を表す関数\(s(t)\)の導関数で、それは速度を表しますす $$s'(t)=\frac{ds}{dt}=v(t)$$ $$v(t)=3t^2-12t+9$$ このグラフを描きます、その時 \(v\)軸との交点は\(v(0)=9\)です
\(t\)軸との交点は $$3t^2-12t+9=0$$ 両辺を3で割ります $$t^2-4t+3=0 \to (t-1)(t-3)=0$$ $$t=1 \quad or \quad t=3$$ 次に、時間に対する速度の変化は\(v(t)\)の導関数で、加速度を表します $$s"(t)=v'(t)=a(t)=6t-12$$ \(v(t)\)の点\((t,v(t))\)における接線の傾きです
スピードアップの条件は $$v(t) \gt 0 \quad and \quad a(t) \gt 0 \quad または \quad v(t) \lt 0 \quad and \quad a(t) \lt 0$$ よって $$1 \lt t \lt 2 \quad or \quad t \gt 3$$

Critical points and graphing with calculus


Minima, maxima and critical points

関数\(f(x)\)の曲線において
最大値は\((x_{0},f(x_{0}))\)の点でグローバル最大値(global maximum)といいます。 この点における接線の傾きは0、つまり\(f'(x_{0})=0\)です
最小値は、マイナスの無限大と考えられるためグローバル最小値は、存在しません
ローカル最小値は \((x_{1},f(x_{1}))\)の点です。この点における接線の傾きは0、つまり\(f'(x_{1})=0\)です
ローカル最大値は \((x_{2},f(x_{2}))\)の点です。この点では接線は定義できません、つまり\(f'(x_{2})=undefined\)です
両端(end points)ではい、\(x=a\)の点で、最大値や最小値がある、
つまり、\(f'(a)=0\)または\(f'(a)\)は未定義となる点をcritical pointと呼びます

Finding critical numbers

\(f(x)=xe^{-2x^2}\)のクリティカル数を求めます

\(c\)を\(f\)のクリティカル数とします

\(f'(c)=0\) または \(f'(c)\)未定義のとき、\(c\)はクリティカル数です

\(f(x)\)の導関数を求めます

$$f'(x)=\frac{d}{dx}[x]e^{-2x^2}+\frac{d}{dx}[e^{-2x^2}]x$$ $$\quad = e^{-2x^2}+e^{-2x^2}(-4x)x$$ $$\quad =e^{-2x^2}(1-4x^2)$$ $$1-4x^2=0$$ $$1=4x^2$$ $$x=\pm\frac{1}{2}$$ したがって、クリティカル数は\(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\)です


Testing critical points for local extrema(極値)

クリティカル・ポイントが、最大値か最小値かを調べるには
点の前後で傾きの符号がどう変わったかを調べます
\(x=x_{0}\)では、傾きは正から負へと変わります
\(x=x_{2}\)でも、傾きは正から負へと変わります
傾きの符号が正から負に代わる点は最大値です
\(x=x_{1}\)では、傾きは負から正へと変わります
傾きの符号が負から正に代わる点は最小値です
\(x=x_{3}\)では、傾きは負から負です
この点はクリティカル・ポイントではありません

Identifying minima and maxima for \(x^3 - 12x + 2\)

\(f(x)=x^3 - 12x + 2\) にクリティカル・ポイントがあるか調べます
\(f(x)\)の導関数を求めます $$f'(x)=3x^2-12$$ $$3x^2-12=0$$ $$3x^2=12$$ $$x^2=4$$ $$x=\pm2$$ $$f'(2)=0 \quad f'(-2)=0$$ \(f(x)\)にはクリティカル・ポイントがあります $$$$ \(x=-2\)で、傾きの符号が正から負へ変わるので、最大値です
\(x=2\)で、傾きの符号が負から正へ変わるので、最小値です

Absolute and relative maxima and minima


Extreme value theorem (極値定理)

関数\(f(x)\)が閉じた区間(\(a,b\)を含む)\([a,b]\)において連続であるならば
\(f(x)\)には、最大値と最小値が存在する
\(x=c\)のとき最小値、\(x=d\)のとき最大値とすると $$\exists c,d \in [a,b]$$ $$f(c) \le f(x) \le f(d)$$ である
関数\(f(x)\)が不連続の場合、
\(x=c\)に限りなく近づいて行くと\(f(c)\)に限りなく近づきますがそこには値がありません
\(x=d\)に限りなく近づいて行くと\(f(d)\)に限りなく近づきますがそこには値がありません
したがって、不連続の関数では、最大値と最小値が存在するとは限りません。
開いた(\(a,b\)を含まない)区間\((a,b)\)では、
\(x=a\)に限りなく近づいて行くと\(f(a)\)に限りなく近づきますがそこには値がありません
\(x=b\)に限りなく近づいて行くと\(f(b)\)に限りなく近づきますがそこには値がありません
したがって、開いた区間では関数に、最大値と最小値が存在するとは限りません。

Relative minima and maxima

関数\(f(x)\)は閉じた区間\([a,b]\)において、\(x=a\)のとき最大であり
\(x=b\)のとき最少である

\(x=c\)のとはどうでしょうか
最小値ではないが、\(x=c\)では、その近くの点よりは小さい
これをrelative minimum または local minimum と呼ぶ $$f(c)\le f(x) \quad \forall x \in (c-h,c+h), h \gt 0$$ \(x=d\)のとはどうでしょうか
最大値ではないが、\(x=d\)では、その近くの点よりは大きい
これをrelative maximum または local maximum と呼ぶ $$f(d)\ge f(x) \quad \forall x \in (c-h,c+h), h \gt 0$$

Concavity and inflection points


Concavity, concave upwards and concave downwards intervals

白線:関数\(f(x)\)
ピンク:\(f(x)\)の1次導関数\(f'(x)\)
緑線:\(f(x)\)の2次導関数\(f''(x)\),\(f'(x)\)の1次導関数

関数\(f(x)\)は\(x \ge 0 \)の表示範囲で、最大値と最小値があります
それらの点はクリティカル・ポイントです

最大値の近くでは\(x\)の小さい方から最大値に近づいていくと、 その接線の傾きは正の値が徐々に小さくなり、最大値で0となり、それを過ぎると負の値となりさらに小さくなっていきます。

最少値の近くでは\(x\)の小さい方から最少値に近づいていくと、 その接線の傾きは負の値が徐々に大きくなり、最少値で0となり、それを過ぎると正の値となりさらに大きくなっていきます。

最大値の近くでは、関数\(f(x)\)の描く曲線は下を向いた凹み(concave downward)となります
最少値の近くでは、関数\(f(x)\)の描く曲線は上を向いた凹み(concave upward)となります

クリティカル・ポイントが最大値か最小値かは、凹みの向きを調べればわかります
concave downwardの条件は
関数\(f(x)\)の接線の傾きが減少していて\(f''(x) \lt 0\)
この時クリティカル・ポイントは最大値です。
concave upwardの条件は
関数\(f(x)\)の接線の傾きが増加していて\(f''(x) \gt 0\)
この時クリティカル・ポイントは最少値です。

An inflection point (反曲点)

関数\(f(x)\)の曲線が、下向きの凹みから上向きの凹み点はどこでしょうか。
その点は、関数\(f(x)\)の1次導関数\(f'(x)\)の極値を示す点であり
関数\(f(x)\)の2次導関数\(f''(x)\)の符号が変わる点です。

Optimization with calculus


Minimizing sum of squares

2つの数\(x\)と\(y\)があり、この積が\(xy=-16\)のとき、それぞれの2乗の和\(x^2+y^2\)の最少値を求めよ。

\(S=x^2+y^2\)において\(S\)の値を最少にする

\(xy=-16 \to y=-\frac{16}{x}\)

\(S\)を\(x\)の関数として表すと

$$S(x)=x^2+(-\frac{16}{x})^2=x^2+256x^{-2}$$

1次導関数を求める $$S'(x)=2x-512x^{-3}$$

critical pointsを求める

$$2x-512x^{-3}=0$$ $$2x=512x^{-3}$$ $$2x \cdot x^3 = 512x^{-3} \cdot x^3$$ $$2x^4=512$$ $$x^4=256$$ $$x^2=16$$ $$x=\pm 4$$

\(x=-4,y=4\) or \(x=4,y=-4\)

2次導関数を求める $$S''(x)=2+3 \cdot 512x^{-4}$$ \(2+3 \cdot 512x^{-4}\)の値はすべての\(x\)で正なので

関数\(S(x)\)の描くグラフは上向きの凹 \(\cup\)となる

$$S=16 + 16 = 32$$


 Optimizing box volume

縦横\(20cm \times 30cm\) の長方形の厚紙の4隅を1辺\(xcm\)の正方形で切り取ります
左図の用紙を折り曲げて容器を作ります
この時、容器の容量が最大となる\(x\)と容積を求めよ

容積を表す関数は

\(V(x)=x(20-2x)(30-2x)\) と表せます

\(x\)は、 $$x \ge 0, \quad 20-2x \ge 0 \to 10 \ge x$$ なので

\(0 \le x \le 10\) です

\(V(0)=0 \quad V(10)=0\) となります

\(V(x)\)を展開すると

$$V(x)=4x^3-100x^2+600x$$

1次導関数は $$V'(x)=12x^2-200x+600$$ \(12x^2-200x+600=0\) とし

解の公式を使ってクリティカル・ポイントを求めます

$$x=\frac{200 \pm \sqrt{40000-4 \cdot 12 \cdot 600}}{24}$$ $$x \approx 12.74 \quad x \approx 3.92$$ \(x le 10\) なので \(x \approx 3.92\)

2次導関数を求めます

$$V''(x)=24x-200$$ \(V''(3.92) \lt 0 \to 下向きに凹 \cap \) となりこの時の容積が最大になります

$$V(3.92)=1056.3cm^3$$


Optimizing profit at a shoe factory

靴製造工場で、ある靴を生産するときの利益を最大にする生産数を求める
数量:\(x\) 単位は千
収入:\(r(x)=10x\) 1足あたり$10の収入
費用:\(c(x)=x^3-6x^2+15x\)
利益:\(p(x)=r(x)-c(x)=10x-x^3+6x^2-15x=-x^3+6x^2-5x\)
\(p(x)\)が最大となる生産数\(x\)を求める

クリティカル・ポイントを求めるため1次導関数を求める $$p'(x)=-3x^2+12x-5$$ $$-3x^2+12x-5=0 \to 3x^2-12x+5=0$$ $$x=\frac{12 \pm \sqrt{144-4 \cdot 3 \cdot 5}}{6}$$ $$x=\frac{12 \pm \sqrt{84}}{6}$$ $$x=\frac{12 + \sqrt{84}}{6} \approx 3.528$$ $$x=\frac{12 - \sqrt{84}}{6} \approx 0.4725$$

2次導関数を求める $$p''(x)=-6x + 12$$ $$p''(3.528) \lt 0 \to \cap \quad maximum$$ $$p''(0.4725) \gt 0 \to \cup \quad minimum$$ したがって $$x=3.528$$ $$p(3.528)=13.128 \to $13,128$$


 Minimizing the cost of a storage container

上部の開いた長方形の容器に、材料を保管するのに\(10m^3\)必要である
容器の底面は、縦の長さは横の2倍である
保管コストは底面に対して\($10/m^2\)、側面に対しては\($6/m^2\)とすると
最も安い容器のコストを求めなさい

容量:\(V=10m^3\)

容器の容量は、底面の横\((x)\)、底面の縦\((2x)\)、高さ((h)\)とすると $$10=x \cdot 2x \cdot h = 2x^2h \to h= \frac{5}{x^2}$$

底面のコスト\(10\cdot x \cdot 2x\)

4側面のコスト\(2 \cdot 6 \cdot x \cdot h + 2 \cdot 6 \cdot 2x \cdot h\)

コスト=底面のコスト+4側面のコスト $$cost=20x^2+12xh+24xh=20x^2+36xh$$ コストを\(x\)の関数として表すと $$c(x)=20x^2+36x\frac{5}{x^2}=20x^2+180x^{-1}$$

クリティカル・ポイントを求めるため1次導関数を求める $$c'(x)=40x-180x^{-2}$$ $$40x-180x^{-2}=0$$ $$40x=\frac{180}{x-2}$$ $$x^3=\frac{180}{40}=\frac{9}{2}$$ $$x=(\frac{9}{2})^{\frac{1}{3}} \approx 1.65$$

2次導関数を求める $$c''(x)=360x^{-3}+40$$ $$c''(1.65) \gt 0 \to \cup \quad minimum$$

費用は\(c(1.65) \approx $163.54\)

容器は横\(1.65m\)、縦\(3.3m\)、高さ\(1.84m\)


Expression for combined area of triangle and square

長さ\(100m\)のワイヤがあります、このワイヤを2つに切り、片方で正三角形をつくり、 残りで正方形を作ります
この時、2つの面積の和が最少となる正三角形のワイヤの長さは
正三角形に使用するワイヤの長さを\(x\)とします

正三角形の面積:\(\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{xsqrt{3}}{6}\)

正方形の面積:\( (\frac{(100-x)}{4})^2 \)

面積の和:\(A(x)=\frac{\sqrt{3}}{36}x^2 + \frac{(100-x)^2}{16}\)

1次導関数 $$A'(x)=\frac{\sqrt{3}}{18}x + \frac{2(100-x)(-1)}{16} =\frac{\sqrt{3}}{18}x+\frac{1}{8}(x-100) =\frac{\sqrt{3}}{18}x+\frac{1}{8}x-12.5$$

$$\frac{\sqrt{3}}{18}x+\frac{1}{8}x-12.5=0$$ $$x=\frac{12.5}{\frac{\sqrt{3}}{18}+\frac{1}{8}} \approx 56.5m$$

2次導関数 $$A''(x)=\frac{\sqrt{3}}{18}+\frac{1}{8} \gt 0 \to \cup \quad minimum$$

$$正三角形のワイヤの長さ56.5m$$


Applying differentiation in different fields


Derivative and marginal cost(限界費用)

生産数\(q\)に対して、その生産コストを表す関数\(c(q)\)を考えます
関数\(c(q)\)の導関数は何を表しているのでしょうか?
関数\(c(q)\)の曲線における接線の傾きです
接線の傾きは\(\frac{\delta c}{\delta q}\)、生産数が1単位変化したときの、コストの変化を表します。これを限界費用といいます。

Related rates


Rates of change between radius and area of circle

池に石を落すと、落ちた所を中心に波紋が円形に広がっていゆきます
ある時点で円の半径は\(3cm\)で、波紋は1秒間に\(1cm\)広がるとします
この時の円の面積の変化はどのようになるか求めなさい

半径を\(r\)、円の面積を\(A\)とすると

\(r=3cm \quad \) \(A=\pi r^2\) 半径の変化\(\frac{d r}{d t}=1\frac{cm}{sec} \)

時間に対する円の面積の変化を求めます\(\frac{d A}{d t}=?\)

$$\frac{d}{d t}[A]=\frac{d}{d t}[\pi r^2]$$ $$\frac{d A}{d t}=\pi \frac{d}{d t}[r^2]$$ chain rule $$\qquad =\pi \frac{d}{d r}[r^2]\frac{d r}{d t}$$ $$\qquad =\pi \cdot 2r\frac{d r}{d t}$$ $$\qquad =\pi \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6 \pi \frac{cm^2}{sec}$$


Rate of change of baloon height

気球が垂直に上昇しています。この気球を真下の地面から\(500m\)離れた地点から見ると、 角度\(\frqc{\pi}{4}rad\)の方向に見えます。気球は1分間に\(0.2rad\)で上昇しています、この時の気球の高さの変化率を求めなさい。

角度を $$ \theta = \frac{\pi}{4}$$ 時間に対する角度の変化率を $$\frac{d \theta}{d t}=0.2\frac{rad}{min}$$ 高さと角度の関係を $$ \tan \theta = \frac{h}{500} $$ 求めるのは時間に対する高さの変化 $$\frac{d h}{d t}= ?$$ 時間に対する高さの変化は $$ \frac{d}{d t}[\tan \theta] = \frac{d}{d t}[\frac{h}{500}] $$ $$\frac{(d \tan \theta)}{d \theta}\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{500}\frac{d}{d h}[h]\frac{d h}{d t}$$ $$\sec^2\theta\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{500}\frac{dh}{dt}$$

$$\cos(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \cos^2(\frac{\pi}{4})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \quad \sec^2(\frac{\pi}{4})=2$$ $$\frac{dh}{dt}=500 \cdot 2 \cdot 0.2 = 200 \frac{m}{min}$$


Related rates of water pouring into cone

円錐形の容器があります。容器の口の直径は\(4cm\)、高さ\(4cm\)です。
現在高さ\(2cm\)の位置まで水が入っています、水は1秒間に\(1cm^3\)増えていきます
この時の高さの変化を求めなさい

円錐の体積は、高さを\(h\)とすると $$V=\frac{1}{3}(底面積)h$$ 容器の高さと底面の直径は同じなので、水の入った部分の高さと底面の直径は同じになる $$V=\frac{1}{3}\pi(\frac{h}{2})^{2}h =\frac{\pi}{12}h^3$$ 体積の変化率は $$\frac{dV}{dt}=1cm^3/sec$$ 求めるのは時間に対する高さの変化 $$\frac{dh}{dt}=?$$

$$\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}[\frac{\pi}{12}h^3] =\frac{\pi}{12}\frac{d}{dt}[h^3] =\frac{\pi}{12}\frac{d}{dh}[h^3]\frac{dh}{dt} =\frac{\pi}{12}\cdot 3h^2 \cdot \frac{dh}{dt}$$ $$1 = \frac{\pi}{12} \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot \frac{dh}{dt}$$ $$\frac{dh}{dt}= \frac{1}{\pi}\frac{cm}{sec}$$


Rate of change of distance between approaching cars

1台の車が交差点Aに向かって南から北上しています。交差点までの距離は\(0.8km\)、時速\(60km\)で進んでいます。もう1台は、東から交差点までの距離\(0.6km\)を時速\(30km\)で向かっています
時間に対する2台の車の距離の変化を求めよ

交差点までの距離 $$北上している車:y=0.8km \quad 西に向かう車:x=0.6km$$ 速度は交差点に向かっているので距離が短くなっているのでマイナスの値となり $$北上している車:\frac{dy}{dt}=-60km/h \quad 西に向かう車:\frac{dx}{dt}-30km/h$$ 2台の距離をsとっすると $$s^2=x^2+y^2$$ $$s^2=0.6^2 + 0.8^2 = 1$$ $$s=1$$ 時間に対する2台の車の距離の変化は $$\frac{ds}{dt}=?$$ $$\frac{d}{dt}[s^2]=\frac{d}{dt}{x^2+y^2}$$ $$\frac{d}{ds}[s^2]\frac{ds}{dt} =\frac{d}{dx}[x^2]\frac{dx}{dt}+\frac{d}{dy}[y^2]\frac{dy}{dt}$$ $$2s\frac{ds}{dt}=2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}$$ $$2\frac{ds}{dt}=2 \cdot 0.6 \cdot -30 + 2 \cdot 0.8 \cdot -60$$ $$2\frac{ds}{dt}= -132$$ $$\frac{ds}{dt}= -66\frac{km}{h}$$


Mean value theorem


Mean value theorem

関数\(f(x)\)は、閉区間\([a,b]\)で連続であり、 開区間\((a,b)\)で微分可能であるとすると
点\((a,f(a))\)と点\((b,f(b))\)の平均変化率は $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ であり、これはピンクの割線の傾きである。
これと同じ傾きを持つ接線が開区間\((a,b)\)の間にある点\((c,f(c))\)に存在する。 $$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$

Finding where the derivative is equal to the average change

$$f(x)=x^2 -6x+8 \quad [2,5]$$ \(c \in(2,5)\)のとき、 $$f'(c)=\frac{f(5)-f(2)}{5-2}$$ となる\(c\)を見つける $$f(5)=25-30+8=3$$ $$f(2)=4-4=0$$ $$f'(c)=\frac{3}{3}=1$$ $$f'(x)=2x-6=1 \to x=\frac{7}{2}$$

 Maximizing function at value

関数\(f\)はすべての\(x\)で微分可能である。
\(f(-2)=3\)で\(f'(x) \le 7\)であるとき
\(f(10)\)がとりうる最大値は?

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(10)-3}{10-(-2)} \le 7$$ $$\frac{f(10)-3}{12} \le 7$$ $$f(10)-3 \le 84$$ $$f(10) \le 87$$ 最大値は \(87\)


L'Hôpital's rule


Introduction to l'Hôpital's rule

導関数を用いて極限を導き出す方法

$$\lim_{x \to c}f(x)=0 \quad and \quad \lim_{x \to c}g(x)=0$$ $$\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{0}{0} \dots 不定形$$ $$and \quad \lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$$ $$\lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \quad に値が存在し、Lであるならば$$ $$\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}=L$$
$$\lim_{x \to c}f(x)=\pm \infty \quad and \quad \lim_{x \to c}g(x)=\pm \infty$$ $$\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty} \dots 不定形$$ $$and \quad \lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$$ $$\lim_{x \to c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \quad に値が存在し、Lであるならば$$ $$\lim_{x \to c}\frac{f(x)}{g(x)}=L$$

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=\frac{0}{0} \dots 不定形$$ $$f(x)=\sin x \quad g(x)=x$$ $$f'(x)=\cos x \quad g(x)=1$$ $$\lim_{x \to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1}=\frac{1}{1}=1$$ したがって極限は $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$


例1

$$\lim_{x \to 0}\frac{2\sin x - \sin 2x}{x-\sin x} = \frac{0}{0}$$ 不定形となるので、ロピタルの定理を使います、 $$\lim_{x \to 0}\frac{2\cos x - 2\cos 2x}{1-\cos x} =\frax{2-2}{1-1}=\frac{0}{0}$$ $$\lim_{x \to 0}\frac{-2\sin x + 4\sin 2x}{\sin x}=\frac{0}{0}$$ $$\lim_{x \to 0}\frac{-2\cos x + 8\cos 2x}{cos x} =\frac{6}{1}=6$$ したがって $$\lim_{x \to 0}\frac{2\sin x - \sin 2x}{x-\sin x} = 6$$


例2

$$\lim_{x \to \infty}\frac{4x^2-5x}{1-3x^2}=\frac{\infty}{-\infty}$$ $$\lim_{x \to \infty}\frac{8x-5}{-6x}=\frac{\infty}{-\infty}$$ $$\lim_{x \to \infty}\frac{8}{-6}=-\frac{4}{3}$$ $$\lim_{x \to \infty}\frac{4x^2-5x}{1-3x^2}=-\frac{4}{3}$$ 次のように考えることもできます $$\lim_{x \to \infty}\frac{4x^2-5x}{1-3x^2} =\lim_{x \to \infty}\frac{x^2(4-\frac{5}{x})}{x^2(\frac{1}{x^2}-3)} =\lim_{x \to \infty}\frac{4-\frac{5}{x}}{\frac{1}{x^2}-3} =\lim_{x \to \infty}\frac{4-0}{0-3}=-\frac{4}{3}$$


例3

$$\lim_{x \to 1}(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}) =\frac{1}{0}-\frac{1}{0}$$ 式を変形します $$\lim_{x \to 1}(\frac{x\ln x-(x-1)}{(x-1)\ln x})=\frac{0}{0}$$ $$\lim_{x \to 1}\frac{\ln x + x\frac{1}{x} - 1}{\ln x + \frac{1}{x}(x-1)}=\lim_{x \to 1}\frac{\ln x}{\ln x + \frac{x-1}{x}}=\frac{0}{0}$$ $$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}} {\frac{1}{x}-x^{-2}(x-1)+\frac{1}{x}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$$


Proof of special case of l'Hôpital's rule

$$f(a)=0 \quad f'(a) は存在する$$ $$g(a)=0 \quad g'(a) は存在する$$ この場合 $$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$$ が成り立つ

$$f'(a)=\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ $$g'(a)=\lim_{x \to a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a}$$

$$\frac{f'(a)}{g'(a)} =\lim_{x \to a} \frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}} {\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}
=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} =\lim_{x \to a}\frac{f(x)-0}{g(x)-0} =\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}$$


Local linearization


Local linearization

\(\sqrt{4.36} \approx ?\) のおおよその値を電卓を使わずに求めます
\(\sqrt{4} = 2 \) は、わかっています、これより少し大きな値だと予想されます
$$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$ とします \((4,f(4))\)を通る接線を\(L(x)\)としその傾きは $$f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$ $$f'(4)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$ この接線上の点\(x\)は $$L(x)=f(4)+f'(4)(x-4)$$ なので $$L(4.36)=2 \cdot \frac{1}{4} \cdot 0.36$$ $$L(4.36)=2.09$$ したがって $$f(4.36) \approx 2.09$$ 電卓で計算すると\(2.088\)です
この方法を Local linearization といいます
$$白線:f(x) \quad 緑線:接線$$