Differential calculus


Limits


Introduction to limits

Limit(極限)について学びます。

$$ここで関数f(x)を$$

$$f(x)= \frac{x-1}{x-1}と定義します。$$

$$f(x)=1となりますが、x=1のとき、f(1)=\frac{0}{0}となりundefined(未定義)となります$$

したがって $$f(x)はx\ne1のときとして定義される$$

図に描くと

$$関数f(x)のグラフは、x=1を除く緑色の直線です$$ $$それでは、左側からx=1に限りなく近づいていくと、$$ $$同様に右側から近づくとどうでしょう$$ $$xが限りなく1に近づくとf(x)も1に近づきます$$ これを

$$\lim_{x \to 1} f(x)=1$$

と書きます

$$ g(x)= \begin{cases} x^2,x \ne 2 \\ 1, x=2 \end{cases} $$ $$関数 g(x) を上記のように定義すると$$ $$g(2)=1となりますが$$ $$xが限りなく2に近づいてゆくと、$$ $$g(x)の値は4に近づいてゆきます$$ したがって

$$\lim_{x \to 2} g(x)=4$$

となります


Estimating limits from graphs


One-sided limits from graphs

$$左図の関数 f(x) のグラフでは、$$ $$xの値が小さいほうから2へ近づいていくと、$$ $$f(x)の値は5に近づいているといえます$$ $$\lim_{x \to 2^{-}} f(x)=5(片側の極限)$$ $$xの値が大きいほうから2へ近づいていくと、$$ $$f(x)の値は1に近づいているといえます$$ $$\lim_{x \to 2^{+}} f(x)=1(片側の極限)$$ $$この場合\lim_{x \to 2^{-}} f(x) \ne \lim_{x \to 2^{+}} f(x) で$$ $$2つの片側の極限が異なるとき、極限はないとなります$$ $$それではxが4に近づいていく時の極限はどうでしょうか\lim_{x \to 4} f(x)$$ $$4の下から近づく場合\lim_{x \to 4^{-}} f(x)=-5です$$ $$4の上から近づく場合\lim_{x \to 4^{+}} f(x)=-5です$$ $$2つの極限は同じなので、この場合極限は$$

$$\lim_{x \to 4} f(x)=-5$$

$$\lim_{x \to 8} f(x)を考えます$$ $$\lim_{x \to 8^{-}} f(x)=3$$ $$\lim_{x \to 8^{+}} f(x)=1$$ $$\lim_{x \to 8} f(x)に極限はありません$$
$$\lim_{x \to -2} f(x)を考えます$$ $$-2より小さな値から-2へ向かうと徐々に4に近づいていきます$$ $$\lim_{x \to -2^{-}} f(x)=4$$ $$-2より大きな値から-2へ向かうとこちらも徐々に4に近づいていきます$$ $$\lim_{x \to -2^{+}} f(x)=4$$ $$右端の極限も左端の極限も同じ値ですから$$

$$\lim_{x \to -2} f(x)=4 \quad で極限があるとなります$$


Limit at a point of discontinuity

$$f(x)=\frac{|x-3|}{x-3} \quad で \lim_{x \to 3}f(x)を考えます$$ $$この関数は、x=3のとき値が存在しませんので$$ $$ f(x)= \begin{cases} \frac{x-3}{x-3},x \gt 3 \\\ \frac{-(x-3)}{x-3},x \lt 3 \end{cases} = \begin{cases} 1,x \gt 3 \\\ -1,x \lt 3 \end{cases} $$ これを図示すると、左のようになります

$$\lim_{x \to 3} f(x)を考えると \quad \lim_{x \to 3^{-}} f(x)=-1, \quad \lim_{x \to 3^{+}} f(x)=1$$ $$右端の極限と左端の極限は異なります、よって$$

$$\lim_{x \to 3} f(x) \quad には極限はありません$$

$$xの値がcに近づいていくとき関数f(x)の極限がLであるならば次の式が成り立つ$$

$$\lim_{x \to c}f(x)=L \Leftrightarrow \lim_{x \to c^{-}}f(x)=\lim_{x \to c^{+}}f(x)=L$$


Finding limits algebraically


Limit example

$$f(x)=\frac{x^2+x-6}{x-2}のとき \quad \lim_{x \to 2}f(x)の極限は?$$ $$ここでx=2のときをみると$$ $$f(2)=\frac{0}{0}となり、f(x)は未定義となる$$ $$f(x)を変形すると$$ $$f(x)=\frac{(x+3)(x-2)}{x-2}=x+3, \quad x \ne 2$$ これは $$ f(x)= \begin{cases} x+3,x \ne 2 \\\ undefined,x = 2 \end{cases} $$ $$\lim_{x \to 2}f(x)=x+3=2+3=5$$

$$\lim_{x \to 2}f(x)=5$$


Limit properties

$$xがcに近づくときのf(x)の極限をL, \lim_{x \to c}f(x)=L \quad g(x)の極限をM, \lim_{x \to c}g(x)=M とします$$


Continuity using limits


Limits to define continuity

$$\lim_{x \to c}f(x)を考えます$$ $$\lim_{x \to c^{+}}f(x)=f(c)$$ $$\lim_{x \to c^{-}}f(x) \ne \lim_{x \to c^{+}}f(x)$$ したがって2つの曲線は不連続です

この場合をjump discontinuityといいます



$$\lim_{x \to c}f(x)を考えます$$ $$\lim_{x \to c^{-}}f(x)=L, \quad \lim_{x \to c^{+}}f(x)=L$$ $$\lim_{x \to c^{-}}f(x)=\lim_{x \to c^{+}}f(x)=L$$ となり、極限はありますが、 $$\lim_{x \to c}f(x)=f(c)となり$$ $$x=cのとき、1点だけ離れています$$ $$f(c) \ne L \quad したがって不連続です$$

この場合をremovable discontinuityといいます



$$\lim_{x \to c}f(x)を考えます$$ $$\lim_{x \to c^{-}}f(x)=L, \quad \lim_{x \to c^{+}}f(x)=L$$ $$\lim_{x \to c^{-}}f(x)=\lim_{x \to c^{+}}f(x)=L$$ であり $$\lim_{x \to c}f(x)=f(c)=L$$ なので $$連続しています$$

この場合をcontinuityといいます



$$ある2点のxの範囲にあるf(x)において、$$ $$cがその範囲内にあるとき$$ $$\lim_{x \to c}f(x)=f(c)$$ $$\lim_{x \to c^{-}}f(x)=\lim_{x \to c^{+}}f(x)=f(c)$$ $$x=cにおいてf(x)は連続です$$


$$ある2点のxの範囲にあるf(x)において、$$ $$cがその左端にあるとき$$ $$\lim_{x \to c}f(x)=f(c)$$ $$\lim_{x \to c^{+}}f(x)=f(c)$$ $$x=cにおいてf(x)は連続です$$


$$ある2点のxの範囲にあるf(x)において、$$ $$cがその右端にあるとき$$ $$\lim_{x \to c}f(x)=f(c)$$ $$\lim_{x \to c^{-}}f(x)=f(c)$$ $$x=cにおいてf(x)は連続です$$

Limits and infinity

$$f(x)=\frac{1}{x}の \quad \lim_{x \to 0}f(x)を考えます$$

$$\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=?$$
\[x\] \[f(x)\]
0.110
0.01100
0.0011,000
0.000110,000
0.00000011,000,000
$$\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=?$$
\[x\] \[f(x)\]
-0.1-10
-0.01-100
-0.001-1,000
-0.0001-10,000
-0.0000001-1,000,000
$$両方ともxの値が0に近づくにつれ、$$ $$f(x)の値はどんどん大きくなり、無限大となります$$ よって $$\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=\infty \quad \lim_{x \to 0^{-}}f(x)=-\infty$$


$$\lim_{x \to \infty}f(x)=?$$
$$x$$ $$f(x)$$
10 0.1
1,000 0.001
1,000,000 0.000001
$$\lim_{x \to -\infty}f(x)=?$$
$$ x $$ $$ f(x) $$
-10 -0.1
-1,000 -0.001
-1,000,000 -0.000001
$$両方ともxの値が正の方向、負の方向に大きくなるにつれ、$$ $$f(x)の値はどんどん0に近づいていきます$$ よって $$\lim_{x \to \infty}f(x)=0 \quad \lim_{x \to -\infty}f(x)=0$$
$$f(x)=\frac{1}{x}のグラフです$$ $$y=0の線は漸近線(asymptote)です$$

Vertical asymptote of natural log

$$y(x)=\ln(x-3)を見てみます$$ $$x-3 > 0でなければいけません \to x > 3です$$ $$x軸を横切る点を求めます,y=0となるxです$$ $$\ln(x-3)=0 \to x-3=e^{0} \to x-3=1$$ $$x=4$$ $$漸近線はx=3です$$

Limits at positive and negative infinity

$$f(x)=\frac{4x^5-3x^2+3}{6x^5-100x^2-10}のとき$$ $$\lim_{x \to \infty}f(x)を考えます$$ $$xが増加すると4x^5と6x^5は急激に大きくなります$$ $$そのため-3x^2+3と-100x^2-10は無視することができます$$ $$つまり\lim_{x \to \infty}f(x)=\frac{4x^5}{6x^5}=\frac{2}{3}$$ $$図からもわかりますが$$ $$\lim_{x \to -\infty}f(x)=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3}$$ $$漸近線はy=\frac{2}{3}$$

Limits with two horizontal asymptotes

$$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}のとき$$ $$\lim_{x \to \infty}f(x)$$ $$\lim_{x \to -\infty}f(x)を考えます$$ $$\sqrt{x^2+1}において、xの値が非常に大きくなったとき+1は無視できます$$ $$f(x)=\frac{x}{|x|}$$ $$\lim_{x \to \infty}f(x)=1$$ $$\lim_{x \to -\infty}f(x)=-1$$

Squeeze theorem or sandwitch theorem

ゆみ、じゅん、あき の三人がいます

じゅんは、ゆみと同じかそれ以上のカロリーをとります

あきは、じゅんと同じかそれ以上のカロリーをとります

$$ゆみのカロリー \le じゅんのカロリー \le あきのカロリー$$

ある日、ゆみは1,500カロリーとりました

同じ日にあきも、1,500カロリーとりました

それでは、じゅんは何カロリーとったでしょうか?

じゅんは、ゆみ以上カロリーをとり、あき以下のカロリーをとるので

じゅんは、ゆみとあきの間の値となるので、1,500カロリーとなります

下と上の値が同じならば、真ん中の値も同じになります

これを関数に当てはめます

$$f(x)=2\sqrt{x-1}-1$$ $$g(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-1}$$ $$h(x)=e^{x-2}$$ $$f(x) \le g(x) \le h(x)$$ ならば $$\lim_{x\to2}f(x) \le \lim_{x\to2}g(x) \le \lim_{x\to2}h(x)$$ $$\lim_{x\to2}f(x)=1 \quad \lim_{x\to2}h(x)=1$$ なので $$\lim_{x\to2}g(x)=1$$