Differential calculus


Taking derivatives


Using secant line slopes to approximate tangent slope


Slope of a line secant to a curve

直線があり、直線上に2点\((x_0,y_0),(x_1,y_1)\)があります
直線の傾き(slope)は、\(x\)の変化量\((\Delta x)\)に対する\(y\)の変化量\((\Delta y)\)で
$$Slope=m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$$ です
曲線の傾きについて考えます
まず曲線上の2点\((x_0,y_0),(x_1,y_1)\)の傾きを考えます
$$Slope=m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$$ これは、この範囲において\(x\)に対する\(y\)の変化量の平均です
いまは、2点を結ぶ直線の傾きを求めています
この直線のように曲線と交差し2つの部分に分ける線のことを割線(secant line)と呼びます
点\((x_0,y_0)\)を\((x_1,y_1)\)に近づけてゆくと、傾きの平均値ではなく \((x_1,y_1)\)における傾きに近づいていきます

Introduction to derivatives (導関数)


Derivative as slope of a tangent line

緑の直線の傾き(slope)は、 $$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ $$a=2のときf(2)=3, \quad b=5のときf(5)=7 \quad とすると$$ $$m=\frac{7-3}{5-2}=\frac{4}{3}$$
曲線\(f(x)\)の傾きを考えます
曲線の傾きは、曲線上の各々の座標で異なっています
そこで
曲線上の1点を\( (x_0,f(x_0)) \)とします
2点目を、\(x_0\)に\(h\)を加えた点\((x_0+h,f(x_0+h))\)とします
この2点を通る曲線\(f(x)\)に対する割線の傾きは $$m=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0} =\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ です
ここで、\(h\)の値を限りなく0に近づけていくと点\( (x_0,f(x_0)) \)での傾きに近づいてゆきます
曲線の点\( (x_0,f(x_0)) \)での傾きは、この点での接線(tangent line)の傾き

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

となります

Calculating slope of tangent line using derivative definition

\(f(x)=x^2\)です。
\(x=3\)のとき\(f(3)=9\)でピンクの点\((3,9)\)です
\(x=3+h\)のとき\(f(3+h)=(3+h)^2\)で黄色の点\((3+h,(3+h)^2))\)です
\(f'(x)\)を\(f(x)\)の導関数とすると、\(x=3\)のときの接線の傾きは
$$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2-9}{h}$$ $$\quad=\lim_{h \to 0} \frac{9+6h+h^2-9}{h} =\lim_{h \to 0} 6+h=6$$ 一般化すると $$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$$ $$\quad=\lim_{h \to 0} \frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} =\lim_{h \to 0} 2x+h=2x$$ \(2x\)が曲線\(f(x)=x^2\)の各\(x\)における接線の傾きです

Formal and alternate form of the derivative

曲線\(y=f(x)\)の\(x=a\)における接線の傾きは $$点(a,f(a))とx軸方向にhだけ離れた点(a+h,f(a+h))を通る割線において$$ \(h\)の値が限りなく0に近づいたときに下記の導関数で求められる $$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
別の表現をすると 曲線\(y=f(x)\)の\(x=a\)における接線の傾きは $$点(a,f(a))と点(x,f(x))を通る割線において$$ \(x\)の値が限りなくaに近づいたときに下記の導関数で求められる $$f'(x)=\lim_{x \to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ 2つの導関数は同じことを表している

Power rule


Power rule

$$f(x)=x^{n},n \ne 0 \to f'(x)= nx^{n-1}$$

$$f(x)=x^2 \to f'(x)=2x^{2-1}=2x$$ $$g(x)=x^5 \to g'(x)=5x^{5-1}=5x^4$$ $$h(x)=x^-100 \to h'(x)=-100x^{-100-1}=-100x^{-101}$$ $$i(x)=x^2.751 \to i'(x)=2.751x^{2.751-1}=2.751x^{1.751}$$

$$f(x)=xの導関数は$$ $$f'(x)=1 \cdot x^{1-1}=x^0=1$$ $$f(x)の傾きはどの点でも1ということです$$
$$g(x)=x^2の導関数は$$ $$g'(x)=2x^{2-1}=2x$$ $$g(x)の線上の点における傾きは2xです$$ $$g'(-2)=2 \cdot (-2) = -4$$ $$g'(0)=2 \cdot 0 = 0$$ $$g'(2)=2 \cdot 2 = 4$$

Derivative properties and polynomial derivatives

$$\frac{d}{dx}[x^n]=nx^{n-1},n \ne 0$$ ですが\(n=0\)のときはどうなるでしょうか $$\frac{d}{dx}[x^0]=\frac{d}{dx}[1]=0$$ $$関数f(x)=1つまりy=1の直線で、その傾きは0です$$ $$y=3の直線も、傾きは0です$$ $$\frac{d}{dx}[A]=0 \quad Aは定数$$ $$\frac{d}{dx}[Af(x)]=A\frac{d}{dx}[f(x)]=Af'(x)$$ $$\quad \frac{d}{dx}[2x^5]=2\frac{d}{dx}[x^5]=2 \cdot 5x^{5-1} =10x^4$$ $$\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)] =\frac{d}{dx}[f(x)]+\frac{d}{dx}[g(x)]=f'(x)+g'(x)$$ $$\quad \frac{d}{dx}[x^2+x^{-4}] =\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[x^{-4}] =2x-4x^{-5}$$

$$Proof:\frac{d}{dx}[x^n]$$

$$\frac{d}{dx}[x^n]=nx^{n-1}$$ を証明します

$$曲線 x^n の任意の点xにおける接線の傾きは$$ $$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}$$ です

これを2項定理を使って展開します $$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^n + \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \\ \end{array} \right) x^{n-1}\Delta x + \left( \begin{array}{c} n \\ 2 \\ \end{array} \right) x^{n-2}\Delta x^2 + \cdots + \left( \begin{array}{c} n \\ n \\ \end{array} \right) \Delta x^n - x^n } {\Delta x} $$ $$ \quad =\lim_{\Delta x \to 0} { \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \\ \end{array} \right) x^{n-1} + \left( \begin{array}{c} n \\ 2 \\ \end{array} \right) x^{n-2}\Delta x^3 + \cdots + \left( \begin{array}{c} n \\ n \\ \end{array} \right) \Delta x^{n-1} }
$$ $$\quad = { \left( \begin{array}{c} n \\ 1 \\ \end{array} \right) x^{n-1} } =\frac{n!}{(n-1)!1!}x^{n-1} $$

$$ \quad =nx^{n-1}$$


Chain rule


Derivatives of \(\sin x,\cos x, \tan x, e^x\) and \(\ln x\)

$$\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$$ $$\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$$ $$\frac{d}{dx}[\tan x] = \frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$$
$$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$$
$$\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}=x^{-1}$$


Chain rule introduction

$$h(x)=(\sin x)^2$$ の導関数 $$h'(x)=?$$

$$\frac{d}{dx}[x^2]=2x \quad \frac{d}{da}[a^2]=2a \quad \frac{d}{d\sin x}[(\sin x)^2]=2\sin x$$ です

まずは外側の導関数を求めます $$\frac{d}{d\sin x}[(\sin x)^2]=2\sin x$$ 内側の導関数を求めます $$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$$ 2つを連結して $$h'(x)= 2\sin x \cdot \cos x$$ となります

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2つの関数が組み合わさった関数\(f(g(x))\)の導関数を考えます $$\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x)) \cdot g'(x)$$ 外側の関数f(g(x))の導関数を求め、内側の関数g(x)の導関数と連結します
\(\sqrt{3x^2-x}\)の導関数を求めてみます $$\frac{d}{dx}[\sqrt{3x^2-x}]=?$$ まず $$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} \quad g(x)=3x^2-x$$ とします $$f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$$ $$f'(g(x))=\frac{1}{2}(3x^2-x)^{-\frac{1}{2}}$$ $$g'(x)=6x-1$$ \(\sqrt{3x^2-x}\)の導関数は2つを連結して $$\frac{d}{dx}[\sqrt{3x^2-x}] =\frac{1}{2}(3x^2-x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (6x-1)$$
\(2^x\)の導関数を求めてみます $$\frac{d}{dx}[2^x]=?$$ まず2を書き換えます $$2=e^{\ln 2}$$ $$2^x=(e^{\ln 2})^x$$ $$\frac{d}{dx}[2^x]=\frac{d}{dx}[(e^{\ln 2})^x]$$ $$\frac{d}{d\ln 2 \cdot x}[e^{\ln 2 \cdot x}]=e^{\ln 2 \cdot x}$$ $$\frac{d}{dx}[\ln 2 \cdot x]=\ln 2$$ $$\frac{d}{dx}[(e^{\ln 2})^x] =e^{\ln 2 \cdot x} \cdot \ln 2 =2^x \cdot \ln 2$$


Derivative of log with arbitrary base

自然対数の導関数は $$\frac{d}{dx}[\ln x]=\frac{1}{x}$$

ではbを底とする対数の導関数を求めます\(\frac{d}{dx}[\log_{b} x]\)

まず、対数の表現を底b から底eに変更します $$\log_{b} x=\frac{\log_{e} x}{\log_{e} x}=\frac{\ln x}{\ln b}$$ したがって $$\frac{d}{dx}[\log_{b} x] =\frac{d}{dx}[\frac{1}{\ln b} \cdot \ln x] =\frac{1}{\ln b}\frac{d}{dx}[\ln x] =\frac{1}{\ln b} \cdot \frac{1}{x} =\frac{1}{(\ln b)x}$$

上記に従うと $$\frac{d}{dx}[\log_{5} x]=\frac{1}{\ln 5 \cdot x}$$ となります


Chain rule with triple composition

\(\sin()\ln(x^2)\)の導関数を求めます

関数を3つに分けます $$f(x)=\sin(x)$$ $$g(x)=\ln x$$ $$h(x)=x^2$$

$$\frac{d}{dx}[\sin()\ln(x^2)]=\frac{d}{dx}[f(g(h(x)))]$$ $$ \quad = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$$ $$ \quad = \cos(\ln (x^2)) \cdot \frac{1}{x^2} \cdot 2x$$ 例 $$F(x)=\sqrt{\ln(3x)}=(\ln(3x))^{\frac{1}{2}}$$ $$F'(x)=\frac{1}{2}(\ln(3x))^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{3x} \cdot 3$$ $$\quad = \frac{1}{2x\sqrt{\ln(3x)}}$$


Product and quotient rules


The product rule for derivatives

2つの関数の積の導関数を求める法則は $$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$ です \(\frac{d}{dx}[x^2\sin x]\)を求めます $$f(x)=x^2 \qquad g(x)=\sin x$$ $$f'(x)=2x \qquad g'(x)=\cos x$$
$$\frac{d}{dx}[x^2\sin x] =2x\sin x + x^2\cos x$$


Product rule for more than two functions

$$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)h(x)]を求めます$$ まず\(f(x)とg(x)h(x)\)に分けて考えると $$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)h(x)] =\frac{d}{dx}[f(x)]g(x)h(x)+f(x)\frac{d}{dx}[g(x)h(x)] =f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)'h(x)$$ 3つの関数のうちの1つが1回づつ導関数となった積の和なので

関数が4つの場合、4つの関数の積でそのうちの1つが1回筒導関数となった和

n個の関数の場合も同様


Quotient rule from product rule

\(\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}]\)を求めます $$\frac{d}{dx}[\frac{f(x)}{g(x)}] =\frac{d}{dx}[f(x)g(x)^{-1}]$$ puroduct rule と chain rule を使って $$=f'(x)g(x)^{-1}+f(x)(-1)g(x)^{-2}g'(x) =\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2} =\frac{f'(x)g(x)}{g(x)^2}-\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$ $$\quad = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$


quotient ruleを使って \(\tan x\)の導関数を求めます

$$\frac{d}{dx}[\tan x]=\frac{d}{dx}[\frac{\sin x}{\cos x}] =\frac{\cos x \cos x + \sin x \sin x}{\cos^2 x}$$ $$\quad = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} =\frac{1}{\cos^2}=(\frac{1}{\cos x})^2=\sec^2 x$$


Implicit differentiation


Implicit differentiation

単位円上の任意の点\((x,y)\)における接線の傾きを求めます
1つの\(x\)の値に対して\(y\)の値は2つ存在します $$x^2 + y^2 = 1$$ $$y^2=1-x^2 \to y=\pm \sqrt{1-x}$$ この式を微分して傾きを求めることもできますが、今回はimplicit differentiationと呼ばれる方法を行います
\(x^2 + y^2 = 1\)の両辺を微分します $$\frac{d}{dx}[x^2 + y^2]=\frac{d}{dx}[1]$$ $$\frac{d}{dx}[x^2]+\frac{d}{dx}[y^2]=0$$ $$2x+\frac{d(y^2)}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}=0$$ $$2x+2y \cdot \frac{dy}{dx}=0$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2y}$$

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

点\( (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\)での 接線の傾きは $$-\frac{x}{y}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1$$

Showing explicit and implicit differentiation give same result

関数 \(x\sqrt{y}=1\) を明示的に微分すると

$$x\sqrt{y}=1 \to \sqrt{y} = \frac{1}{x} \quad y=\frac{1}{x^2}=x^{-2} \quad \frac{dy}{dx}=-2x^{-3}$$

暗黙の微分をすると $$\frac{d}{dx}[x\sqrt{y}]=\frac{d}{dx}[1]$$ product ruleで $$\frac{d}{dx}[x]\cdot\sqrt{y}+x\cdot\frac{d}{dx}[\sqrt{y}]=0$$ $$\sqrt{y}+x \cdot \frac{d(\sqrt{y})}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=0$$ $$\sqrt{y}+x \cdot \frac{1}{2}y^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{dy}{dx}=0$$ $$\frac{x}{2\sqrt{y}}\frac{dy}{dx}=-\sqrt{y}$$ $$\frac{dy}{dx}=-\frac{2\sqrt{y}\sqrt{y}}{x}=-\frac{2y}{x}$$
\(-2x^{-3}\)と\(-\frac{2y}{x}\)はだいぶ形が違うようですが
\(y=x^{-2}\)を代入すると $$-\frac{2y}{x}=-\frac{2}{x^2\cdotx}=-2x^{-3}$$


Implicit derivative of \((x-y)^2=x+y-1\) 

$$\frac{d}{dx}[(x-y)^2]=\frac{d}{dx}[x+y-1]$$ $$\frac{d(x-y)^2}{d(x-y)} \cdot \frac{d(x-y)}{dx} =\frac{d}{dx}[x]+\frac{dy}{dx}-\frac{d}{dx}[1]$$ $$2(x-y)(1-\frac{dy}{dx})=1+\frac{dy}{dx}$$ $$(2x-2y)(1-\frac{dy}{dx})=1+\frac{dy}{dx}$$ $$(2x-2y)+(2y-2x)\frac{dy}{dx}=1+\frac{dy}{dx}$$ $$(2y-2x)\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}=1-(2x-2y)$$ $$(2y-2x-1)\frac{dy}{dx}=2y-2x+1$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{2y-2x+1}{2y-2x-1}$$


Implicit derivative of \(y=\cos (5x-3y)\)

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[\cos (5x-3y)]$$ $$\frac{dy}{dx}=-\sin(5x-3y) \cdot (5-3\frac{dy}{dx})$$ $$\frac{dy}{dx}=-5\sin(5x-3y)+3\sin(5x-3y)\frac{dy}{dx}$$ $$(1-3\sin(5x-3y))\frac{dy}{dx}=-5\sin(5x-3y)$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{-5\sin(5x-3y)}{1-3\sin(5x-3y)}$$


Implicit derivative of \((x^2+y^2)^3=5x^2y^2\)

$$\frac{d}{dx}[(x^2+y^2)^3]=\frac{d}{dx}[5x^2y^2]$$ $$3(x^2+y^2)^{2}(2x+2y\frac{dy}{dx})=5[2xy^2+x^2 2y\frac{dy}{dx}]$$ $$6x(x^2+y^2)^2+6y(x^2+y^2)^2\frac{dy}{dx} =10xy^2+10x^2y\frac{dy}{dx}$$ $$6y(x^2+y^2)^2\frac{dy}{dx}-10x^2y\frac{dy}{dx} =10xy^2-6x(x^2+y^2)^2$$ $$(6y(x^2+y^2)^2-10x^2y)\frac{dy}{dx}=10xy^2-6x(x^2+y^2)^2$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{10xy^2-6x(x^2+y^2)^2}{(6y(x^2+y^2)^2-10x^2y)}$$


Finding slope of tangent line with implicit differentiation

\(x^2+(y-x)^3=28\)の\(x=1\)のときの接線の傾きを求めます

最初に\(x=1\)のときの\(y\)の値を求めておきます

$$1^2+(y-1)^3=28$$ $$(y-1)^3=27$$ $$y-1=3$$ $$y=4$$ 点\( (1,4) \)における接線の傾きを求めることになります $$\frac{d}{dx}[(x^2+(y-x)^3]=\frac{d}{dx}[28]$$ $$2x+3(y-x)^2(\frac{dy}{dx}-1)=0$$ $$2x+3(y-x)^2\frac{dy}{dx}-3(y-x)^2=0$$ $$3(y-x)^2\frac{dy}{dx}=3(y-x)^2-2x$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{3(y-x)^2-2x}{3(y-x)^2} =\frac{3(4-1)^2-2 \cdot 1}{3(4-1)^2}=\frac{25}{27}$$


Implicit derivative of \(e^{xy^2} = x - y\)

今回は別の表記法を使って導関数を求めてみます

$$D=\frac{d}{dx} \quad y'=\frac{dy}{dx}$$ とします $$D[e^{xy^2}] = D[x - y]$$ chain rule $$e^{xy^2} \cdot D[xy^2]=1-y'$$ product rule $$e^{xy^2} (y^2+x\cdot 2yy')=1-y'$$ $$y^2e^{xy^2}+2yxe^{xy^2}y'=1-y'$$ $$2yxe^{xy^2}y'+y'=1-y^2e^{xy^2}$$ $$(2yxe^{xy^2}+1)y'=1-y^2e^{xy^2}$$ $$y'=\frac{1-y^2e^{xy^2}}{2xye^{xy^2}+1}$$


Derivatives of inverse functions


Derivative of inverse sine

\(y=\sin^{-1} x\)の導関数を求めます

$$y=\sin^{-1} x \Leftrightarrow \sin y = x$$ なので $$\frac{d}{dx}[\sin y]=\frac{d}{dx}[x]$$ $$\cos y \frac{dy}{dx}=1$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}$$ ここで $$\sin^2 y + \cos^2 y = 1 \to \cos^2 y = 1 - \sin^2 y \to \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}$$ 置き換えると $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 y}} =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$


Derivative of inverse cosine

\(y=\cos^{-1} x\)の導関数を求めます

$$y=\cos^{-1} x \Leftrightarrow \cos y = x$$ なので $$\frac{d}{dx}[\cos y]=\frac{d}{dx}[x]$$ $$-\sin y \frac{dy}{dx}=1$$ $$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin y}$$ ここで $$\sin^2 y + \cos^2 y = 1 \to \sin^2 y = 1 - \cos^2 y \to \sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}$$ 置き換えると $$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2 y}} =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$


Derivative of inverse tangent

$$\frac{d}{dx}[\tan x]=\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$$ を知っています $$y=\tan^{-1} x \Leftrightarrow \tan y = x$$ $$\frac{d}{dx}[\tan y]=\frac{d}{dx}[x]$$ $$\frac{1}{\cos^2 y}\frac{dy}{dx}=1$$ $$\frac{dy}{dx}=\cos^2 y$$ ここでテクニックを $$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos^2 y}{\cos^2 y + \sin^2 y}$$ \(\cos^2 y\)で分子分母を割ります $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+(\frac{\sin y}{\cos y})^2}$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+(\tan y)^2}=\frac{1}{1+x^2}$$


Derivative of natural logarithm

$$\frac{d}{dx}[\ln x]=?$$ $$y=\ln x \Leftrightarrow e^y=x$$ $$\frac{d}{dx}[e^y]=\frac{d}{dx}[x]$$ $$e^y\frac{dy}{dx}=1$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}$$


Derivative of \(x^{x^x}\)

\(y=x^x\)の導関数を求めます

両辺の自然対数をとります $$\ln y = \ln x^x$$ $$\ln y = x\ln x$$ 両辺を微分します $$\frac{d}{dx}[\ln y]=\frac{d}{dx}[x\ln x]$$ $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln x + x\frac{1}{x}$$ $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\ln x + 1$$ $$\frac{dy}{dx}=y(\ln x + 1)$$ $$\frac{dy}{dx}=x^x(\ln x + 1)$$
上の結果を利用して\(y=x^{(x^x)}\)を微分します

両辺の自然対数をとります $$\ln y = \ln (x^{(x^x)})=x^x\ln x$$ 両辺を微分します $$\frac{d}{dx}[\ln y]=\frac{d}{dx}[x^x\ln x]$$ $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[x^x]\ln x + x^x\frac{d}{dx}[\ln x]$$ $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=x^x(\ln x + 1)\ln x + x^x\frac{1}{x}$$ $$\frac{dy}{dx}=y(x^x(\ln x + 1)\ln x + x^{x-1})$$ $$\frac{dy}{dx}=x^{(x^x)}(x^x(\ln x + 1)\ln x + x^{x-1})$$


Derivative using log properties

\(f(x)=\ln \frac{x+5}{x-1}\)の導関数\(f'(x)\)を求めます

簡単な方法と難しい方法の2通りあります

Easy way

公式 \(\ln\frac{a}{b}=\ln a - \ln b\)を使います $$f(x)=\ln \frac{x+5}{x-1}=\ln(x+5)-\ln(x-1)$$ $$f'(x)=\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-1}$$

Hard way $$f'(x)=\frac{1}{\frac{x+5}{x-1}}\frac{d}{dx}[\frac{x+5}{x-1}]$$ $$\quad =\frac{x-1}{x+5}\frac{d}{dx}[(x+5)(x-1)^{-1}]$$ $$\quad =\frac{x-1}{x+5}(\frac{1}{x-1}+(x+5)\frac{-1}{(x-1)^2})$$ $$\quad =\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x-1}$$