Differential calculus


Integrals


Antiderivatives and indefinite integrals

導関数 $$\frac{d}{dx}[x^2]=2x$$ $$\frac{d}{dx}[x^2+1]=2x$$ $$\frac{d}{dx}[x^2+\pi]=2x$$ $$\frac{d}{dx}[x^2+C]=2x$$ すべて\(2x\)となります
では導関数が\(2x\)となる元の関数は何でしょうか? $$x^2,x^2+1,x^2+\pi$$ などですが $$x^2+C$$ が元の関数となります、これを式 $$\int 2x dx = x^2 + C$$ \(\int 2x dx\)を、逆微分とか不定積分といいます
この値は曲線とx軸の間の面積を表します

Indefinite integrals of x raised to a power

$$ \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (n \ne -1)の導関数を求めます$$ $$\frac{d}{dx}[\frac{x^{n+1}}{n+1}+c] =\frac{(n+1)x^n}{n+1}+0=x^n$$
$$x^nの不定積分を求めます$$ $$\int {x^n} dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c \quad (n \ne -1)$$

例1 $$\int {x^5} dx=\frac{x^{5+1}}{5+1}+c=\frac{x^6}{6}+C$$ 例2 $$\int {5x^{-2}} dx=5\int{x^{-2}}dx=5(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C) =5(-x^{-1}+C)=-5x^{-1}+5C$$ $$定数5c \to Cと置き換えて$$ $$=-5x^{-1}+C$$ となります


Antiderivative of \(x^{-1}\)

$$\int {x^{-1}} dx = \int{\frac{1}{x}} \quad (x \ne 0)$$ ここで $$\frac{d}{dx}[\ln{x}]=\frac{1}{x}$$ ですから $$\int {x^{-1}} dx = \ln{x} + C \quad (x \ne 0)$$ となりますが、\(\ln{x} + C\) は \(x \gt 0\) でなければなりません
しかし\(x\)の範囲は\(0\)を除くすべての\(x\)ですから\(x\)の絶対値をとって $$\ln{|x|}を考えます$$ $$\ln{|x|}=\ln{x}$$ $$\frac{d}{dx}\ln{|x|}=\frac{d}{dx}\ln{x}=\frac{1}{x}$$ ピンク線が\(\ln{|x|}\)で、緑線がその導関数\(\frac{1}{x}\quad (x \ne 0)\) です

Basic trig and exponential antiderivatives

$$\int(\sin t + \cos t) dt$$ $$=\int {\sin t} dt + \int {\cos t} dt$$ $$\frac{d}{dt}{-\cos t}=\sin t \quad \frac{d}{dt}{\sin t}=\cos t$$ なので $$=-\cos t + \sin t + C$$ となります


$$\int (e^{a}+\frac{1}{a}) da$$ $$=\int{e^a} da + \int {\frac{1}{a}}da =e^a + \ln|a| + C$$


Antiderivative of hairier expression

$$\int (7x^3 - 5\sqrt{x} + \frac{18\sqrt{x}}{x^3}+x^{-40})dx$$ $$=\int 7x^3 dx - \int 5\sqrt{x}dx + \int \frac{18\sqrt{x}}{x^3} dx + \int x^{-40})dx$$ $$= \frac{7x^4}{4} - \frac{5x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + \frac{18x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}} + \frac{x^{-39}}{-39} + C $$ $$=\frac{7}{4}x^4 - \frac{10}{3}x^{\frac{3}{2}} - 12x^{-\frac{3}{2}} - \frac{1}{39}x^{-39} + C$$


Velocity and position from acceleration

時間における位置を表す関数を\(S(t)\)

これを時間で微分すると\(\frac{dS}{dt}=V(t)\)、時間に対する位置の変化、つまり速度です

これを時間で微分すると\(\frac{dV}{dt}=a(t)\)、時間に対する速度の変化、加速度です

それでは加速度から初めて、不定積分を求めていきます

$$a(t) \to \int a(t) dt = V(t) \to \int V(t)dt = S(t)$$

ここで $$a(t)=1m/s^2 \quad V(3)=-3m/s \quad S(2)=-10m$$ とすると $$V(t)=\int a(t)dt=\int 1dt =t+C$$ $$V(3)=3+C=-3 \to c = -6 \to V(t)=t-6$$
$$S(t)=\int V(t)dt=\int(t-6)dt=\frac{t^2}{2}-6t+C$$ $$S(2)=2-12+C=-10 \to C=0 \to S(t)=\frac{t^2}{2}-6t$$


Area under a rate function as net change


Area under rate function

時間に対して移動する距離の割合を表す関数\(r(t)\)があります $$r(t)=\frac{距離の変化}{時間の変化}=\frac{\Delta s}{\Delta t} \to \Delta s = r(t) \cdot \Delta t$$ $$r(t)=5m/s \quad t=4s$$ のとき、移動距離はどのくらいでしょう $$ \Delta s = r(t) \cdot \Delta t $$ $$\quad = 5m/s \cdot 4s = 20m$$ 右のグラフでいうと、直線\(r=5\)と\(t=4\)に囲まれた面積と同じになります
条件が $$0 \le t \le 2 \quad r=2m/s$$ $$t \gt 2 \quad r=5m/s$$ $$ t=5s$$ のときはどうでしょうか $$2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 4 + 15 = 19m$$

Riemann sums (リーマン和)


Simple Riemann approximation using rectangles

関数\(f(x)=x^2+1\)で\(x \in[1,3]\)において、曲線の下側にできる面積を求める
グラフのように、\(x\)を等間隔に分割した長方形を描きます
その長方形の面積の合計を求めます
曲線と長方形の間には隙間がありますが、\(x\)の間隔を小さくしていくことで、隙間も小さくなります
今回は4個の長方形で求めてみます
$$xの幅: \Delta x = \frac{3-1}{4} = \frac{1}{2}$$ $$おおよその面積= f(1)\cdot\Delta x + f(1.5)\cdot\Delta x + f(2)\cdot\Delta x + f(2.5)\cdot\Delta x $$ $$ = 2\cdot\frac{1}{2} + 3.25\cdot\frac{1}{2} + 5\cdot\frac{1}{2} + 7.25\cdot\frac{1}{2} = 8.75 $$

Generalizing a left Riemann sum with equally spaced rectangles

前のことを一般化します
関数\(f(x)でx \in[a,b]\)の範囲で、曲線の下側にできる面積を求めます
長方形は左側の境界線を元に描きます $$xの幅:\Delta x = \frac{b-a}{n}$$ $$ 面積\approx f(x_{0})\Delta x + f(x_{1})\Delta x + f(x_{2})\Delta x + f(x_{3})\Delta x + \cdots + f(x_{n-1})\Delta x $$ $$\approx \sum_{i=1}^{n}f(x_{n-1})\Delta x$$ となります

Rectangular and trapezoidal Riemann approximations

左側の辺を基準にした長方形では $$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$ $$\sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1})\Delta x$$
右側の辺を基準にした長方形では $$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$ $$\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x$$
中間点の高さを基準にした長方形では $$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$ $$\sum_{i=1}^{n}\frac{f(x_{i}+x_{i-1})}{2}\Delta x$$
台形で面積を計算する場合 $$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$ $$\sum_{i=1}^{n}\frac{f(x_{i})+f(x_{i-1})}{2}\Delta x$$

Trapezoidal approximation of area under curve

$$f(x)=\sqrt{x-1}$$ $$\Delta x = \frac{6-1}{5}=\frac{5}{5}=1$$ $$ Area \approx \frac{f(1)+f(2)}{2}\Delta x + \frac{f(2)+f(3)}{2}\Delta x + \frac{f(3)+f(4)}{2}\Delta x + \frac{f(4)+f(5)}{2}\Delta x + \frac{f(5)+f(6)}{2}\Delta x $$ $$ \quad \approx \frac{\Delta x}{2}(f(1)+2f(2)+2f(3)+2f(4)+2f(5)+f(6)) $$ $$ \quad \approx \frac{1}{2}(0 + 2 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 4 + \sqrt{5}) $$ $$ \quae \approx 7.26 $$

Riemann sums and integrals

左を基準としたリーマン和は以下のようにあらわせました $$ 区間[a,b]で、\Delta x = \frac{b-a}{n}のとき \sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1})\Delta x $$ ここで \(\Delta x \)が限りなく小さくなったら、 つまり長方形の数が無限大になったら\(n \to \infty\)は、より面積を正確に表せます

$$ \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1})\Delta x $$

これが積分の定義になります


Evaluating definite integral from graph

$$\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}dx$$ を求めます、これは\(y=\sqrt{9-x^2}\)の曲線の下にできる面積です
この式に手を加えます $$y^2=9-x^2 \to x^2 + y^2 = 9$$ これは半径が3の円の式で、左図の青く塗りつぶされた部分の面積を求めることになります $$\frac{\pi \cdot 3^2}{2}=\frac{9\pi}{2}$$

Properties of the definite integral


Integrating scaled version of function

区間\([a,b]\)で、関数\(y=f(x)\)(緑線)と\(x\)軸との間の面積は $$\int_{a}^{b}f(x)dx$$ \(f(x)\)を\(c\)倍した関数\(y=cf(x)\)(白線)と\(x\)軸との間の面積は $$\int_{a}^{b}cf(x)dx$$ これは縦方向に\(c\)倍長くなった面積です
したがって $$\int_{a}^{b}cf(x)dx=c\int_{a}^{b}f(x)dx$$

Integrating sums of functions

$$\int_{a}^{b}f(x)dx \qquad \qquad+$$
$$\int_{a}^{b}g(x)dx \qquad \qquad =$$
$$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx$$

Definite integral from and to same point

同じ点から同じ点までの定積分は、 $$\int_{c}^{c}f(x)dx = 0$$ 高さはあるが、幅は無いので、高さx幅=0 となります

Breaking up integral interval

$$a \le c \le b$$ $$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$$

Definite integral of shifted function

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=5$$ とすると $$f(x-c)[白線]は、f(x)[緑線]を右へc分移動したものとします$$ この時 $$\int_{a+c}^{b+c}f(x-c)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx=5$$

Switching bounds of definite integral

$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x \quad where \quad \Delta x = \frac{b-a}{n}$$ それでは\(a \to b\) を\(b \to a\)とした場合は $$\int_{b}^{a}f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x \quad where \quad \Delta x = \frac{a-b}{n}$$ この場合の\(\Delta x\)は負となります、したがって $$\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx$$

Fundamental theorem of calculus


Fundamental theorem of calculus

範囲\([a,b]\)において連続な関数\(f\)があります
$$x \in[a,b]のときF(x)=\int_{a}^{x}f(t)dtとすると$$ $$\frac{d}{dx}F(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)$$

Applying the fundamental theorem of calculus

例1 $$F(x)=\int_{\pi}^{x}\cot^2 t dt$$ $$F'(x)=\frac{d}{dx}\int_{\pi}^{x}\cot^2 t dt=\cot^2 x$$ 例2 $$F(x)=\int_{\pi}^{x^2}\cot^2 t dt$$ $$F'(x)=\frac{d}{dx}\int_{\pi}^{x^2}\cot^2 t dt =\frac{d}{dx}F(x^2)=F'(x^2) \cdot \frac{d}{dx}x^2 =\cot^2(x^2) \cdot 2x = 2x\cot^2(x^2)$$


Swapping the bounds for definite integral

$$F(x)=\int_{x}^{3}\sqrt{|\cos t|}dt$$ 範囲が\(x\)から\(3\)の場合、\(3\)と\(x\)を入れ替えて $$F'(x)=\frac{d}{dx}\int_{x}^{3}\sqrt{|\cos t|}dt =\frac{d}{dx}-\int_{3}^{x}\sqrt{|\cos t|}dt =-\frac{d}{dx}\int_{3}^{x}\sqrt{|\cos t|}dt =-\sqrt{|\cos t|}$$


Both bounds being a function of x

$$F(x)=\int_{x}^{x^2}\frac{\cos t}{t}dt$$ 範囲が\(x\)から\(x^2\)の場合、\(x\)と\(x^2\)の間に\(c\)をとると $$F(x)=\int_{x}^{x^2}\frac{\cos t}{t}dt =\int_{x}^{c}\frac{\cos t}{t}dt+\int_{c}^{x^2}\frac{\cos t}{t}dt =-\int_{c}^{x}\frac{\cos t}{t}dt+\int_{c}^{x^2}\frac{\cos t}{t}dt $$ となります $$ F'(x)=-\frac{\cos t}{t}+2x\frac{\cos x^2}{x^2} =-\frac{\cos t}{t}+\frac{2\cos x^2}{x} =\frac{2\cos x^2-\cos x}{x}$$


Proof of fundamental theorem of calculus

$$関数fは範囲[a,b]で連続である$$ $$F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt \quad (a \le x \le b)$$ とします $$範囲[x,x+\Delta x]でf(t)とx軸の間の面積は$$ $$\int_{x}^{x+\Delta x}f(t)dt$$ です、この場合 $$F'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{F(x+_Delta x)-F(x)}{\Delta x}$$ $$\quad = \lim_{\Delta x \to 0}

Evaluating definite integrals


Connecting the first and second fundamental theorems of calculus

$$範囲[c,d]において連続な関数fがあります$$ \(x \in [c,d]\)であるとき、\(c\)から\(x\)の範囲で関数\(f\)と\(x\)軸の間の面積を $$F(x)=\int_{c}^{x}f(t)dt$$ とすると、この範囲で連続であるならば、微分可能であり、基本定理から $$F'(x)=f(x)$$ となります

それでは2番目の基本定理へとつなげていきます

\(F(b)-F(a)\)を考えます \(a,b\in[c,d]\) です
\(F(b)\)は\(c\)から\(b\)の範囲で関数\(f\)の下側にできる面積です
\(F(a)\)は\(c\)から\(a\)の範囲で関数\(f\)の下側にできる面積ですから $$F(b)-F(a)=\int_{c}^{b}f(t)dt-\int_{c}^{a}f(t)dt =\int_{a}^{b}f(t)dt$$
2番目の基本定理 $$\int_{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$$

Evaluating simple definite integral

関数\(f(x)=x^2\) が、範囲\(x \in [1,4]\)で\(x\)軸と挟まれた領域の面積を求める
求める面積は $$\int_{1}^{4}f(x)dx$$ 第2の基本定理から $$\int_{1}^{4}f(x)dx=F(4)-F(1)$$ \(f(x)\)と\(F(x)\)の関係は $$f(x)を積分 \to F(x)$$ $$F(x)を微分 \to f(x)$$ なので $$F(x)=\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$$ ここから $$F(4)-F(1)=[\frac{x^3}{3}]_{1}^{4}=\frac{64}{3}-\frac{1}{3} =\frac{63}{3}=21$$

Improper integrals (広義積分)


Introduction to improper integrals

関数\(f(x)=\frac{1}{x^2}\)において\(x=1\)から\(x\)が無限大のときの関数と\(x\)軸に挟まれた領域の面積は?
$$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2}dx$$ これを広義積分(improper integral)という、これは $$\quad =\lim_{n \to \infty}\int_{1}^{n}\frac{1}{x^2}dx$$ 基本定理から $$\quad =\lim_{n \to \infty}[-\frac{1}{x}]_{1}^{\infty}$$ $$\quad =\lim_{n \to \infty}(-\frac{1}{n}+1)$$ $$\quad =-0+1=1$$ 1に収束する(convergent)

Improper integral with two infinite bounds

$$f(x)=\frac{250}{25 + x^2}$$ \(x\)の範囲が\(-\infty\)から\(+\infty\)のときの、関数と\(x\)軸の間の面積を求める
面積は $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{250}{25 + x^2}dx$$ $$\quad =\int_{-\infty}^{0}\frac{250}{25 + x^2}dx + \int_{0}^{\infty}\frac{250}{25 + x^2}dx$$ $$\quad = \lim_{n \to -\infty}\int_{n}^{0}\frac{250}{25 + x^2}dx + \lim_{m \to \infty}\int_{0}^{m}\frac{250}{25 + x^2}dx$$ ここで制約をもうけます $$x=5\tan\theta$$ $$\frac{x}{5}=\tan \theta$$ $$\theta = \arctan \frac{x}{5}$$ $$\frac{dx}{d\theta}=5\sec^2 \theta \to dx = 5\sec^2 \theta d \theta$$

$$\int\frac{250}{25+x^2}dx =\int\frac{250 \cdot 5\sec^2\theta}{25+25\tan^2\theta}d\theta =\int\frac{250 \cdot 5\sec^2\theta}{25(1+\tan^2\theta)}d\theta =\int\frac{10 \cdot 5\sec^2\theta}{(1+\tan^2\theta)}d\theta =\int\frac{10 \cdot 5\sec^2\theta}{(\sec^2\theta)}d\theta$$ $$\quad=50\int d\theta=50\theta + C = 50 \arctan(\frac{x}{5})+C$$

極限の式を書き換えると $$\quad = \lim_{n \to -\infty}\int_{n}^{0}\frac{250}{25 + x^2}dx + \lim_{m \to \infty}\int_{0}^{m}\frac{250}{25 + x^2}dx$$ $$\quad =\lim_{n \to -\infty}50 \arctan(\frac{x}{5})|_{n}^{0} + \lim_{m \to \infty}50 \arctan(\frac{x}{5})|_{0}^{m}$$ $$\quad =\lim_{n \to -\infty}(50\arctan(\frac{0}{5}) - 50\arctan(\frac{n}{5}) + \lim_{m \to \infty}(50\arctan(\frac{m}{5}) - 50\arctan(\frac{0}{5}) $$ $$\quad =0 -(-25\pi)+ 25\pi - 0$$ $$\quad = 50\pi$$


Divergent improper integral