# Area between curves

## 例1

$$f(x)=\sqrt{x} \quad と \quad g(x)=x^2 \quad に挟まれた部分の面積は?$$
$$\int_{0}^{1}(\sqrt{x}-x^2)dx$$ $$=\int_{0}^{1}(\sqrt{x})dx-\int_{0}^{1}(x^2)dx$$ $$=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}|_{0}^{1} - \frac{1}{3}x^3|_{0}^{1}$$ $$=\frac{2}{3}-0 -(\frac{1}{3}-0)$$ $$=\frac{1}{3}$$

## 例2

$$y=2-x \quad y=\sqrt{x} \quad と \quad y=x^2/4-1$$ $$に挟まれた部分の面積は?$$ $$\int_{0}^{1}[\sqrt{x}-(x^2/4-1)]dx +\int_{1}^{2}[2-x-(x^2/4-1)]dx$$ $$=[\frac{2}{3}x^{3/2}-(x^3/12-x)]_{0}^{1} +[2x-x^2/2-(x^3/12-x)]_{1}^{2}$$ $$=\frac{5}{2}$$

# Average value of a function

$$閉じた範囲[a,b]における関数f(x)の平均値を求める$$
$$平均値は[a,b]でyの値の平均値です$$ $$x軸から曲線までの高さをhとすると、その高さの平均です$$ 関数の下にできる面積で考えると、面積は $$\int_{a}^{b}f(x)dx$$ $$平均の高さをf_{avg}とする長方形で考えると$$ $$f_{avg} \cdot (b-a) = \int_{a}^{b}f(x)dx$$ $$f_{avg} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}f(x)dx$$

# Arc length

$$閉じた区間[a,b]における関数f(x)の弧の長さを求める$$

その接線んの長さを$$ds$$とすると、接線の長さは $$\int_{a}^{b}ds$$ ここで　$$ds$$ は $$ds=\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}$$ 変形します $$=\sqrt{(dx)^2(1 + (\frac{dy}{dx})^2)} =\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}dx$$ $$\int_{a}^{b}\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}dx$$ $$\qquad \frac{dy}{dx}=f'(x)$$
$$\int_{a}^{b}\sqrt{1 + (f'(x))^2}dx$$

# Volume of solids with known cross sections

$$=\frac{\sqrt{3}}{12}$$

# Solids of revolution - disc method

## Disk method around x-axis

$$曲線f(x)=x^2の点からx軸に垂直に引いた線を半径として$$ $$x軸を中心に描いた円が区間[0,2]に作る図形のの体積は？$$
$$円の半径：r=x^2$$ $$円の面積：\pi r^2=\pi(x^2)^2$$ $$図形の体積$$ $$\int_{0}^{2}\pi (x^2)^2 dx =\pi\int_{0}^{2}x^4 dx$$ $$=\pi[\frac{x^5}{5}]_{0}^{2}$$ $$=\pi(\frac{2^5}{5}-0)$$
$$=\frac{32\pi}{5}$$

## Disc method around y-axis

$$曲線f(x)=x^2の点からy軸に垂直に引いた線を半径として$$ $$y軸を中心に描いた円がyの区間[1,4]に作る図形のの体積は？$$
$$円の半径：r=\sqrt{y}$$ $$円の面積：\pi r^2=\pi(\sqrt{y})^2$$ $$図形の体積$$ $$\int_{1}^{4}\pi (\sqrt{y})^2 dy =\pi\int_{1}^{4} y dy$$ $$=\pi[\frac{y^2}{2}]_{1}^{4}$$ $$=\pi(\frac{4^2}{2}-\frac{1^2}{2})$$ $$=\pi(\frac{16}{2}-\frac{1}{2})$$
$$=\frac{15\pi}{2}$$

## Disc method (washer method) for rotation around x-axis

$$y=\sqrt{x}とy=xとに囲まれた部分が$$ $$x軸を中心に360°回転してできる図形の体積は$$
$$y=\sqrt{x}とy=xの交点は$$ $$\sqrt{x}=x \to x=x^2 \to x^2-x = 0 \to x(x-1)=0$$ $$x=0 \quad or \quad x=1$$ $$y=\sqrt{x}の体積：V_{1}=\pi\int_{0}^{1}(\sqrt{x})^2dx$$ $$y=xの体積：V_{2}=\pi\int_{0}^{1}x^2 dx$$ $$回転してできる図形の体積：V_{1}-V_{2}$$ $$=\pi[\frac{x^2}{2}]_{0}^{1}-\pi[\frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$$ $$=\pi(\frac{1}{2}-0)-(\frac{1}{3}-0))$$
$$=\frac{1}{6}\pi$$

$$\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2-(g(x))^2dx$$

## Disc method rotation around horizontal line

$$y=\sqrt{x}とy=1とに囲まれた部分が、区間[1,4]で$$ $$y=1を中心に360°回転してできる図形の体積は$$
$$V=\pi \int_{1}^{4}(\sqrt{x}-1)^2 dx$$ $$=\pi \int_{1}^{4}(x-2\sqrt{x}+1) dx$$ $$=\pi [\frac{x^2}{2}-\frac{4}{3}x^{3}{2}+x]_{1}^{4}$$
$$=\frac{7}{6}\pi$$

## Washer method rotating around non-axis

$$y=x^2-2xとy=xとに囲まれた部分が、$$ $$y=4を中心に360°回転してできる図形の体積は$$
$$y=x^2-2xとy=xの交点から区間を求める$$ $$x^2-2x=x \to x^2-2x-x =0 \to x(x-3)=0$$ $$区間[0,3]$$  回転してできた図形の断面積は $$A=\pi(外側の円の半径)^2 - \pi(内側の円の半径)^2$$ $$=\pi[(4-(x^2-2x))^2 - ((4-x)^2)]$$ 図形の体積は $$V=\pi \int_{0}^{3}((4-x^2+2x)^2 - (x^2-8x+16)) dx$$ $$=\pi \int_{0}^{3}(x^4-4x^3-5x^2+24x) dx$$ $$=\pi [\frac{x^5}{5}-x^4-{5}{3}x^3+12x^2]_{0}^{3}$$ $$=\pi(\frac{243}{5}-81-45+108 - 0)$$
$$=\frac{153}{5}\pi$$