Differential calculus


Integration applications


Area between curves


例1

$$f(x)=\sqrt{x} \quad と \quad g(x)=x^2 \quad に挟まれた部分の面積は?$$
$$\int_{0}^{1}(\sqrt{x}-x^2)dx$$ $$=\int_{0}^{1}(\sqrt{x})dx-\int_{0}^{1}(x^2)dx$$ $$=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}|_{0}^{1} - \frac{1}{3}x^3|_{0}^{1}$$ $$=\frac{2}{3}-0 -(\frac{1}{3}-0)$$ $$=\frac{1}{3}$$

例2

$$y=2-x \quad y=\sqrt{x} \quad と \quad y=x^2/4-1$$ $$に挟まれた部分の面積は?$$ $$\int_{0}^{1}[\sqrt{x}-(x^2/4-1)]dx +\int_{1}^{2}[2-x-(x^2/4-1)]dx$$ $$=[\frac{2}{3}x^{3/2}-(x^3/12-x)]_{0}^{1} +[2x-x^2/2-(x^3/12-x)]_{1}^{2}$$ $$=\frac{5}{2}$$

Average value of a function

$$閉じた範囲[a,b]における関数f(x)の平均値を求める$$
$$平均値は[a,b]でyの値の平均値です$$ $$x軸から曲線までの高さをhとすると、その高さの平均です$$ 関数の下にできる面積で考えると、面積は $$\int_{a}^{b}f(x)dx$$ $$平均の高さをf_{avg}とする長方形で考えると$$ $$f_{avg} \cdot (b-a) =  \int_{a}^{b}f(x)dx$$ $$f_{avg} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}f(x)dx$$

Arc length

$$閉じた区間[a,b]における関数f(x)の弧の長さを求める$$
弧の長さは、極短い区間の接線が連なったものと考えられます
その接線んの長さを\(ds\)とすると、接線の長さは $$\int_{a}^{b}ds$$ ここで \(ds\) は $$ds=\sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}$$ 変形します $$=\sqrt{(dx)^2(1 + (\frac{dy}{dx})^2)} =\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}dx$$ $$\int_{a}^{b}\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}dx$$ $$\qquad \frac{dy}{dx}=f'(x)$$
$$\int_{a}^{b}\sqrt{1 + (f'(x))^2}dx$$

Volume of solids with known cross sections

直線x+y=1とx軸、y軸で囲まれた範囲で、x軸に垂直な断面が正三角形の体積を求めよ
正三角形の底辺 $$1-x$$ 正三角形の高さは $$\frac{1-x}{2}\sqrt{3}$$ 正三角形の面積は $$\frac{1}{2}(1-x)\frac{1-x}{2}\sqrt{3}=\frac{(1-x)^2\sqrt{3}}{4}$$ 体積は $$V(x)=\int_{0}^{1}[\frac{(1-x)^2\sqrt{3}}{4}]dx$$ $$=\frac{\sqrt{3}}{4}\int_{0}^{1}(1-2x+x^2)dx$$ $$=\frac{\sqrt{3}}{4}[x-x^2+\frac{x^3}{3}]_{0}^{1} =\frac{\sqrt{3}}{4}(1-1+\frac{1}{3}-0)$$
$$=\frac{\sqrt{3}}{12}$$

Solids of revolution - disc method

Disk method around x-axis

$$曲線f(x)=x^2の点からx軸に垂直に引いた線を半径として$$ $$x軸を中心に描いた円が区間[0,2]に作る図形のの体積は?$$
$$円の半径:r=x^2$$ $$円の面積:\pi r^2=\pi(x^2)^2$$ $$図形の体積$$ $$\int_{0}^{2}\pi (x^2)^2 dx =\pi\int_{0}^{2}x^4 dx$$ $$=\pi[\frac{x^5}{5}]_{0}^{2}$$ $$=\pi(\frac{2^5}{5}-0)$$
$$=\frac{32\pi}{5}$$
一般化すると、図形の体積は

$$\pi\int_{a}^{b} (f(x))^2 dx $$

Disc method around y-axis

$$曲線f(x)=x^2の点からy軸に垂直に引いた線を半径として$$ $$y軸を中心に描いた円がyの区間[1,4]に作る図形のの体積は?$$
$$円の半径:r=\sqrt{y}$$ $$円の面積:\pi r^2=\pi(\sqrt{y})^2$$ $$図形の体積$$ $$\int_{1}^{4}\pi (\sqrt{y})^2 dy =\pi\int_{1}^{4} y dy$$ $$=\pi[\frac{y^2}{2}]_{1}^{4}$$ $$=\pi(\frac{4^2}{2}-\frac{1^2}{2})$$ $$=\pi(\frac{16}{2}-\frac{1}{2})$$
$$=\frac{15\pi}{2}$$

Disc method (washer method) for rotation around x-axis

$$y=\sqrt{x}とy=xとに囲まれた部分が$$ $$x軸を中心に360°回転してできる図形の体積は$$
$$y=\sqrt{x}とy=xの交点は$$ $$\sqrt{x}=x \to x=x^2 \to x^2-x = 0 \to x(x-1)=0$$ $$x=0 \quad or \quad x=1$$ $$y=\sqrt{x}の体積:V_{1}=\pi\int_{0}^{1}(\sqrt{x})^2dx$$ $$y=xの体積:V_{2}=\pi\int_{0}^{1}x^2 dx$$ $$回転してできる図形の体積:V_{1}-V_{2}$$ $$=\pi[\frac{x^2}{2}]_{0}^{1}-\pi[\frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$$ $$=\pi(\frac{1}{2}-0)-(\frac{1}{3}-0))$$
$$=\frac{1}{6}\pi$$
一般化すると $$f(x)=\sqrt{x} \quad g(x)=x \quad として$$ $$区間を[a,b]とすると$$ $$\int_{a}^{b}\pi(f(x))^2dx-\int_{a}^{b}\pi(g(x))^2dx$$
$$\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2-(g(x))^2dx$$

Disc method rotation around horizontal line

$$y=\sqrt{x}とy=1とに囲まれた部分が、区間[1,4]で$$ $$y=1を中心に360°回転してできる図形の体積は$$
$$V=\pi \int_{1}^{4}(\sqrt{x}-1)^2 dx$$ $$=\pi \int_{1}^{4}(x-2\sqrt{x}+1) dx$$ $$=\pi [\frac{x^2}{2}-\frac{4}{3}x^{3}{2}+x]_{1}^{4}$$
$$=\frac{7}{6}\pi$$

Washer method rotating around non-axis

$$y=x^2-2xとy=xとに囲まれた部分が、$$ $$y=4を中心に360°回転してできる図形の体積は$$
$$y=x^2-2xとy=xの交点から区間を求める$$ $$x^2-2x=x \to x^2-2x-x =0 \to x(x-3)=0$$ $$区間[0,3]$$ $$$$ 回転してできた図形の断面積は $$A=\pi(外側の円の半径)^2 - \pi(内側の円の半径)^2$$ $$=\pi[(4-(x^2-2x))^2 - ((4-x)^2)]$$ 図形の体積は $$V=\pi \int_{0}^{3}((4-x^2+2x)^2 - (x^2-8x+16)) dx$$ $$=\pi \int_{0}^{3}(x^4-4x^3-5x^2+24x) dx$$ $$=\pi [\frac{x^5}{5}-x^4-{5}{3}x^3+12x^2]_{0}^{3}$$ $$=\pi(\frac{243}{5}-81-45+108 - 0)$$
$$=\frac{153}{5}\pi$$

Disc method rotating around vertical line

$$y=x^2-1が区間-1 \le y \le 3 で$$ $x=-2を軸に360°回転してできる図形の体積は$$
回転してできた図形の断面積は $$\qquad y=x^2-1 \to x=\sqrt{y+1}$$ $$A=\pi(\sqrt{y+1}+2)^2$$ 図形の体積は $$V=\pi \int_{-1}^{3}((\sqrt{y+1}+2)^2 dy$$ $$=\pi \int_{-1}^{3}(y+4\sqrt{y+1}+4) dy$$ $$=\pi [\frac{y^2}{2}+{8}{3}(y+1)^{\frac{3}{2}}+5y]_{-1}^{3}$$ $$=\pi(\frac{9}{2}-\frac{64}{3}+15 -(\frac{1}{2}+1))$$
$$=\frac{136}{3}\pi$$

Washer or ring method for vertical line rotation

$$y=x^2-1が区間-1 \le y \le 3 で$$ $$x=2を軸に360°回転してできる図形の体積は$$
回転してできた図形の断面積は $$\qquad y=x^2-1 \to x=\sqrt{y+1}$$ $$A=\pi(\sqrt{y+1}+2)^2$$ 図形の体積は $$V=\pi \int_{-1}^{3}((\sqrt{y+1}+2)^2 dy$$ $$=\pi \int_{-1}^{3}(y+4\sqrt{y+1}+4) dy$$ $$=\pi [\frac{y^2}{2}+{8}{3}(y+1)^{\frac{3}{2}}+5y]_{-1}^{3}$$ $$=\pi(\frac{9}{2}-\frac{64}{3}+15 -(\frac{1}{2}+1))$$
$$=\frac{136}{3}\pi$$

Solids of revolution - shell method

Shell method for rotating around vertical line

区間[1,3]で関数\(f(x)=(x-3)^2(x-1)\) とx軸の間にできる断面がy軸を中心に360°回転してできる立体の体積を求める
回転体の体積は、半径xの円が高さ\(f(x)\)積みあがったものが区間[1,3]連なったものです $$V=\int_{1}^{3}2\pi x f(x)dx =2\pi\int_{1}^{3}(x-3)^2(x-1)dx$$ $$=2\pi\int_{1}^{3}(x^3-7x^2+15x-9)dx$$

Shell method for rotating around horizontal line

区間[0,8]で関数\(y=\sqrt[3]{x}\) とx軸の間にできる断面がx軸を中心に360°回転してできる立体の体積を求める
回転体の体積は、半径yの円が高さ\(8-x\)積みあがったものがyの区間[0,2]連なったものです $$y=\sqrt[3]{x} \to x = y^3$$ $$V=\int_{0}^{2}2\pi y (8-y^3)dy =2\pi\int_{0}^{2}y(8-y^3)dy$$ $$=2\pi\int_{0}^{2}(8y-y^4)dy$$

Shell method with two functions of x

区間[0,1]で関数\(y=\sqrt{x}\)と\(y=x^2\)の間にできる断面がx=2を中心に360°回転してできる立体の体積を求める
回転体の体積は、半径\(2-x\)の円が高さ\(\sqrt{x}-x^2\)積みあがったものがyの区間[0,1]連なったものです $$円周:2\pi (2-x)$$ $$表面積:2\pi (2-x)(\sqrt{x}-x^2)$$ $$V=\int_{0}^{1}2\pi (2-x)(\sqrt{x}-x^2)dx$$ $$=2\pi\int_{0}^{1}(2-x)(\sqrt{x}-x^2)dx$$

Shell method with two functions of y

xの区間[0,4]で関数\(x=(y-1)^2\)と\(y=x-1\)の間にできる断面がy=-2を中心に360°回転してできる立体の体積を求める
回転体の体積は、半径\(y+2\)の円が高さ\(\y+1-(y-1)^2\)積みあがったものがyの区間[0,3]連なったものです $$円周:2\pi (y+2)$$ $$表面積:2\pi (y+2)(y+1-(y-1)^2)$$ $$V=2\pi \int_{0}^{3}(y+2)(y+1-(y-1)^2)dy$$

Area defined by polar graphs

Area enclosed by polar graph formula intuition

$$Area = \frac{1}{2} \int_{a}^{b}f(\theta)^2 d\theta$$

Arc length of polar graph

$$ length = \frac{1}{2} \int_{a}^{b}\sqrt{f'(\theta)^2+f(\theta)^2} d\theta$$