Trigonometry


Graphs of trig functions


Midline, amplitude and period of a function

midline

最大値と最小値の中間値を通る線(左図 y=1の緑の直線)

amplitude(振幅)

中間値から最大値または最小値までの長さ(左図ピンクの線)

period(周期)

繰り返される曲線の中で、ある位置から次の同じ位置までの長さ

y=1の点で見ると、x=0の次のプラス方向の点はx=1のときですが、 x=0では曲線はyの値が増加する方向に進み、x=1では減少する方向に進んでいます。 なので、x=0の次の同じ位置の点はx=2のときになります。


Example of amplitude and period

$$左図の赤い曲線は y = sin(x) です$$
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Intersection of sine and cosine

$$0 \ge \theta \ge 2\piのとき$$ $$y=sin\theta とy=cos\theta が交差する点はいくつか?$$ $$左図を見ると2か所$$ $$0 \ge \theta \ge \frac{\pi}{2}の間と \pi\ge\theta\ge\frac{3}{4}\piの間$$
単位円でみてみると $$交点の1つは、0 \ge \theta \ge \frac{\pi}{2}で \theta=\frac{\pi}{4}radで、$$ $$\sin\theta = \cos\thetaなので y = x = a とすると$$ $$ a^2 + a^2 = 1^2(ピタゴラスの定理)$$ $$2a^2 = 1$$ $$a^2 = \frac{1}{2}$$ $$a = \frac{1}{\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})の点です$$ $$もう1つの交点は、\pi\ge\theta\ge\frac{3}{4}\piで、 \theta=\pi + \frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}rad$$ $$(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})の点です$$

Tangent graph

$$y=\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$ $$単位円でみれば、角度\thetaのベクトルの傾きです\frac{\triangle y}{\triangle x}$$ $$\thetaが\frac{\pi}{2}に近づいていくと傾きは限りなく大きくなり\inftyに近づく$$ $$\thetaが-\frac{\pi}{2}に近づいていくと傾きは限りなく小さくなり-\inftyに近づく$$ $$-\frac{\pi}{2}\lt \theta \lt \frac{\pi}{2}において -\infty \lt\tan \theta \lt \inftyである$$