Trigonometry


Unit circle definition of trig functions


角度の表し方 度数(degrees)と弧度(radians)

1 radianとは、半径rの円で、円弧の長さが r となる角度。

$$\theta = 1(radian)$$
angledegreesradians
$$a$$$$360$$$$\quad2\pi$$
$$b$$$$180$$$$\quad\pi$$
$$c$$$$ 90$$$$\quad \frac{\pi}{2}$$
$$\quad 0$$$$\quad 0$$
$$d$$$$-90$$$$-\frac{\pi}{2}$$
弧度と度数の変換 $$1°=\frac{\pi}{180}$$ $$1_{(rad)}=\frac{180}{\pi}$$

$$radians = degrees \times \frac{\pi}{180} $$


Finding arc length from radian angle measure

半径1単位の円で、0.4(rad)の角度が作る円弧の長さは0.4 radii である。

半径5単位の円で、角度 0.4(rad)が作る円弧の長さは

$$5\frac{units}{radii} \times 0.4 radii = 2 \quad units$$ となる。

Ratio between concentric arcs

x radians の円弧が2つあり
小さいほうの円弧の半径は 5
大きいほうの円弧の半径は 9
この時 $$\stackrel{\frown}{AB}の長さと\stackrel{\frown}{CD}の長さの比率は$$ $$\frac{\stackrel{\frown}{CD}}{\stackrel{\frown}{AB}}=\frac{5}{9}$$ ここで $$\stackrel{\frown}{CD}の長さを\frac{25}{8}$$ だとすると $$5x=\frac{25}{8}$$ $$x=\frac{5}{8}\quad radians$$ となります。したがって $$\stackrel{\frown}{AB}=9 \times \frac{5}{8} = \frac{45}{8}$$ です。

Unit circle

Unit circle(単位円)は、半径が 1 の円です。

$$cos\theta = \frac{a}{1}= a$$ $$sin\theta = \frac{b}{1}= b$$

$$a=cos\theta\cdots(x座標)$$

$$b=sin\theta\cdots(y座標)$$


Trig functions of special angles

Solving triangle in unit circle

$$\angle BAD = \frac{\pi}{4} \quad radiansです$$ $$\angle ABD = ?$$ $$三角形の内角の和は 180^\circなので$$  $$\angle ABD + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \pi$$ $$\angle ABD = \pi - \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2} = \frac{4\pi-\pi-2\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$$ $$2つの角が同じ三角形は2等辺三角形なので$$ $$x=y$$ $$x^2+y^2=1 \rightarrow x^2+x^2=1$$ $$2x^2=1$$ $$x^2=\frac{1}{2}$$ $$x = \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$y=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$sin\frac{\pi}{4}=\frac{y}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$cos\frac{\pi}{4}=\frac{x}{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$tan\frac{\pi}{4}=\frac{y}{x} =\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1$$

Finding trig functions of special angles

$$三角形の2辺は長さが2で同じなので、この三角形は2等辺三角形である$$ $$したがって$$ $$\beta=\frac{\pi}{3}$$ $$\alpha+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\pi \rightarrow \alpha = \pi-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2} = \frac{6\pi-2\pi-3\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$$ $$この三角形の3つの内角はすべて\frac{\pi}{3}であるので、この三角形は正三角形である$$ $$底辺に対する頂点から降ろされた垂線は底辺を2等分するので$$ $$b=1$$ $$a^2+b^2=2^2 \rightarrow a^2+1^2=4$$ $$a^2=4-1=3$$ $$a=\sqrt{3}$$
$$sin\frac{\pi}{3}$$ $$cos\frac{\pi}{3}$$ $$tan\frac{\pi}{3}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{1}{2}$$ $$\sqrt{3}$$
$$sin\frac{\pi}{6}$$ $$cos\frac{\pi}{6}$$ $$tan\frac{\pi}{6}$$
$$\frac{1}{2}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Invrse trig functions

$$\arcsin$$

$$sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$では、sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2} のとき、\theta の角度は?$$ $$arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}=\theta \quad または \quad sin^{-1}\frac{\sqrt{2}}{2}=\theta$$ $$という関数を使います$$ $$ただし$$ $$-1 \le y \le 1 \quad で \quad -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} \quad という制限を設けます$$ $$arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}$$ $$$$ $$arcsin\frac{-\sqrt{3}}{2}=? \to -\frac{\pi}{3}$$ $$$$ $$\arcsin(\sin\theta)=\arcsin(y)=\theta$$ $$\sin(\arcsin y)=\sin \theta = y$$

$$\arccos$$

$$\cos\theta = x \to \arccos x= \theta ,\quad \cos^{-1}x= \theta$$ $$$$ $$\arccos (-\frac{1}{2})=\theta? \to \cos\theta = (-\frac{1}{2}) \to x = -\frac{1}{2}$$ $$Domain:-1 \le x \le 1$$ $$Range \quad restrict:0 \le \theta \le \pi$$ $$\alpha = \arccos (\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$$ $$\theta = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$ $$$$ $$\arccos(\cos\theta)=\arccos(x)=\theta$$ $$\cos(\arccos x)=\cos \theta = x$$

$$\arctan$$

$$\tan \theta = x \to \arctan x = \theta, \quad \tan^{-1}x=\theta$$ $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \to \frac{y-value}{x-value} \to slope(傾き)$$ $$\arctan(-1)=\theta?$$ $$\tan \theta = -1 \to 傾きが -1 \to 長さx = 長さy$$ $$Domain:-\infty \lt y \lt \infty$$ $$Range \quad restrict:-\frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}$$ $$\theta = -45^\circ = -\frac{\pi}{4}rad$$

Restricting domain of trig function to make invertible

$$関数fは、domainの要素を元にrangeの要素を示します$$ $$逆関数f^{-1}は、rangeの要素を元にdomainの要素を示します$$ $$上側のrangeの要素は1つのdomainの要素から指し示されています$$ $$この場合、逆関数f^{-1}はdomainの要素を特定できます$$ $$一方、下側のrangeの要素は2つのdomain要素から指し示されています$$ $$こちらの場合、逆関数f^{-1}はdomainの要素を特定できません$$ $$そのため、domainに制限を与えて、$$ $$domainの要素とrangeの要素が1対1となるようにします$$
$$グラフの 値0.5の青線は赤い曲線と3か所で交わっています。$$ $$赤い曲線を表す関数f(x)には、f(x)=0.5となるxが複数存在するということです。$$ $$この場合f(x)の逆関数f^{-1}(0.5)は、xを特定できません。$$ $$そこで、xのとる値ををピンクの矢印の範囲に限定することで$$ $$逆関数f^{-1}(0.5)は値を特定することができます$$